수학에풍덩

10.지수함수와 로그함수(3) [물 음] 함수 $y= \{\log_{2}({2^{x-2} +2^{-x-1}}) \}^2 +2\log_{2}{(2^x+2 \cdot 2^{-x}})$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+5$ 의 최솟값을 구하여라. [설 명] 관찰을 하면 뭔가 치환이 될듯하다. $2^{x-2}+2^{-x-1}$과 $2^x +2\cdot 2^{-x}$사이의 관계를 생각해보자. $2^{x-2}+2^{-x-1}$$=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2^{-1}$ $=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2^{-1} \cdot 2 \cdot 2^{-1}$$=2^..

9.지수함수와 로그함수(2) [2019년 6월 교육청 고2(나형) 30번] 두 양수 $a$, $k$ ($k \not=1$)에 대하여 함수 $f(x)=\begin{cases}2\log_{k}{(x-k+1)+2^{-a}} & (x \ge k)\\{}\\2\log_{\frac{1}{k}}{(-x+k+1)+2^{-a}} & (x < k)\end{cases}$ 가 있다. $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 방정식 $f(x)=g(x)$의 해는 $- {3\over 4}$, $t$, $5 \over4$이다. $30(a+k+t)$의 값을 구하시오. (단, $0

[2020년 9월 교육청 19번] 그림과 같이 실수 $t$ ($1

[물 음] $100 \le x

[물 음] $a$, $b$는 같은 부호이고, $a^2 -2ab -9b^2=0$일 때, $\log{(a^2 +ab-6b^2)}-\log{(a^2 +4ab-3b^2)}$의 값을 구하여라. [설 명] $a^2 -2ab -9b^2=0$을 보면 뭔가 이차방정식 같으면서도 잘 정리가 되지 않는다. 이 문제의 핵심은 $a^2 -2ab -9b^2=0$을 이차방정식으로 바꾸는 것이다. 양변을 $b^2$으로 나누면 $\left(\frac{a}{b} \right)^2 -2\left(\frac{a}{b} \right) -9=0$ $\frac{a}{b}=t$로 치환하면 ‘$a$, $b$는 같은 부호’에서 $t>0$이고, $t^2 -2t-9=0$ 이제 이차방정식이 되었다.^^ 위 식에서 근의 공식으로 $t$를 구하자. $t=1 ..

[물 음] 삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$사이에 $\log_{a+b}{c}+\log_{a-b}{c}=\log_{a+b}{(a^2 -c^2)}\times\log_{a-b}{c}$ 가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? 단, $c\neq0$이다. [설 명] 로그의 연산 문제를 풀때는 일단 밑을 맞춘 후 생각한다. 밑을 $10$으로 맞추자. $\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a+b)}}+\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}=\frac{\log_{10}{(a^2 -c^2 )}}{\log_{10}{(a+b)}}\times\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}$ 양변에 $\log_{10}{(a+b)}\times..

[문제1] $2^x =3^{-y}$, $9^y = {\sqrt6}^z$일 때, ${1\over x}-{1 \over y}$을 $z$를 이용하여 나타내어라. [문제2] 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $30^a =8$, $30^b =3$일 때, $10^{{2a+b} \over {1-b}}$의 값을 구하여라. [문제1. 풀이] 먼저 $2^x =3^{-y}$와 $9^y = {\sqrt6}^z$를 연결하여야 한다. $2^x =3^{-y}$ $\rightarrow$ $2^{-x} =3^{y}$ $\rightarrow$ $(2^{-x})^2 =(3^{y})^2$ $\rightarrow$ $4^{-x} =9^{y}$ 따라서 $4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z}$ $4^{-x} =9^y = 6^..

$2 \le n \le 100$인 자연수 $n$에 대하여 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이 되도록 하는 $n$의 개수를 구하시오. “$a$ 의 $n$제곱근이 $x$다.”의 명제를 식으로 표현하면 $n$제곱하여 $a$가 되는 수가 $x$이므로 $x^n =a$ $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이면 “어떤 자연수의 $n$제곱근이 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$ ”라고 할 수 있고, 이를 “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”와 대응을 시켜보면 $a$ : 어떤 자연수 $x$ : $\left( \sqrt[7]{3^3} \righ..

방사성 물질의 양이 처음의 양의 $1 \over 2$로 줄어드는 데 걸리는 시간을 반감기라 하는데, 방사성 탄소 동위 원소 ${}^{14} C$의 반감기는 $5700$년이라고 한다. 어떤 생물체의 화석에 현재 함유되어 있는 ${}^{14} C$의 양이 $8g$일 때, $300$년 후 이 화석에 함유된 ${}^{14} C$의 양은 $2^k g$이다. 이때 유리수 $k$의 값을 구하여라. 매년 줄어드는 양은 비율 항상 같다고는 볼 수 없을 것이다. 어떤 주변 요소들에 의해 해년마다 다를 수밖에 없지만, 그렇게 심화적인 부분을 평가하는 문제는 고등과정에서 출제되지 않으므로 생각하지 않도록 하자. 따라서 처음 양을 $a$라 할 때, 매년 줄어드는 양의 비율은 $r$로 일정하다고 하면 $1$년후의 양은 $ar$,..

실수 $x$와 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $x$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 $f(n,~x)$라 할 때, 옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고르시오. 먼저 기본개념을 정리하자. “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”라고 하면 $n$제곱해서 $a$가 되는 수가 $x$라는 뜻이므로 $x^n =a$이다. $x^n =a$의 근의 개수는 일반적으로 $n$개이다. 그렇지만 $x^n =a$의 모든 근을 구할 수는 없으므로 대개의 경우 실근의 개수만 생각을 한다. 만약, $x^2 =3$이면 실근은 $x=\pm \sqrt3$으로 두 개 $x^4 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[4]{3} $으로 두 개 $x^6 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[6]{3} $ 으로 두 개 $\cdots..