어려워하는 수학의 주제에 대한 쉬운 설명 그리고 일상의 이야기

나머지정리 3

나머지정리와 방정식

이차식 $P(x)$ 에 대하여 ${P(1) \over 30} = {P(2) \over 15} = {P(3) \over 10} = {1 \over 3}$ 이 성립할 때, $P(x)$ 를 $x-6$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. 이 문제를 보면 대개의 사람들은 이렇게 풀려고 한다. $P(x)=ax^2 +bx+c$ $P(1)=10$ , $P(2)=5$ , $P(3)= {10 \over 3}$ 그런데 위를 정리하여 식을 세우면 풀수는 있으나 그 과정이 너무 복잡하다. 그러면 이렇게 생각을 해보자. 양변에 $30$ 을 곱한다. $P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$ $P(1)-10=0$ , $2P(2)-10=0$ , $3P(3)-10=0$ 그러면, $xP(x)-10=0$ 이란 방..

수학/수상 2021.03.08

나머지정리2

다항식 $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이다. 또 $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이다. (1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지를 구하여라. (2) $f(x)$ 를 $x^2 -8x+15$ 로 나눈 나머지를 구하여라. 주어진 조건 ① $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이면 $f(x)=(x-5)g(x)+1$이고, $f(5)=1$ ② $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이면 $g(x)=(x-3)Q(x)+2$ 이고, $g(3)=2$ 구할 것 (1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지 $f(x)=(x-3)A(x)+R$ 에서 $R$ 즉, $R=f(3)$ (2) $f(x)$ 를 $..

수학/수상 2021.03.08 (2)

나머지정리1

다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$ 이고, $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ 이다. 이때, $f(x)$ 를 $(x-1)^2 (x-3)$ 으로 나눈 나머지를 구하여라. 조건은 두 가지이고, ① 다항식 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ ② 다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$ 우리가 구할 것은 $f(x)$ 를 $(x-1)^2 (x-3)$ 으로 나눈 나머지이다. 즉, $f(x)=(x-1)^2 (x-3)Q(x) +ax^2 +bx+c$ 에서 $ax^2 +bx+c$ 이다. ① 다항식 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ 에서 $f(x)=(x-3)A(x)+7$ 이므로 $f(3)=7$ ② 다항식 $f(x)$..

수학/수상 2021.03.07