수학/수1

2.지수(2)

라이프니츠 1050 라이프니츠 1050 2021. 3. 18. 14:08

 

방사성 물질의 양이 처음의 양의 $1 \over 2$로 줄어드는 데

걸리는 시간을 반감기라 하는데,

방사성 탄소 동위 원소 ${}^{14} C$의 반감기는

$5700$년이라고 한다.

어떤 생물체의 화석에 현재 함유되어 있는

${}^{14} C$의 양이 $8g$일 때,

$300$년 후 이 화석에 함유된 ${}^{14} C$의 양은 $2^k g$이다.

이때 유리수 $k$의 값을 구하여라.

 

 

매년 줄어드는 양은 비율 항상 같다고는 볼 수 없을 것이다.

어떤 주변 요소들에 의해 해년마다 다를 수밖에 없지만,

그렇게 심화적인 부분을 평가하는 문제는

고등과정에서 출제되지 않으므로

생각하지 않도록 하자.

 

따라서 처음 양을 $a$라 할 때,

매년 줄어드는 양의 비율은 $r$로 일정하다고 하면

$1$년후의 양은 $ar$,

$2$년후의 양은 $ar \cdot r=ar^2$,

$3$년후의 양은 $ar^2 \cdot r=ar^3$,

$\cdots$

$n$년후의 양은 $ar^n$

 

따라서 $5700$년후의 양은 $ar^{5700}$

반감기가 $5700$년이므로

따라서 $ar^{5700} = {1 \over 2} a$,  $r^{5700} = {1 \over 2}$,

$r^{5700} = 2^{-1}$,  $r=2^{- {1 \over 5700}}$

 

이제 현재양이 $8g$일 때, $300$년 후의 양을 구하자.

처음 비율을 적용하면

$8r^{300}$이고$r=2^{- {1 \over 5700}}$이므로

$8 \times \left( 2^{-{1 \over 5700}} \right)^{300} = 2^3 \times 2^{-{ 1 \over 5700} \times 300}$

$=2^3 \times 2^{-{1 \over 19}} = 2^{3-{1 \over 19}} =2^{56 \over 19}$

$\therefore ~k= {56 \over 19}$

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

2.지수2-연습문제.pdf
0.03MB

 

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