방사성 물질의 양이 처음의 양의 $1 \over 2$로 줄어드는 데
걸리는 시간을 반감기라 하는데,
방사성 탄소 동위 원소 ${}^{14} C$의 반감기는
$5700$년이라고 한다.
어떤 생물체의 화석에 현재 함유되어 있는
${}^{14} C$의 양이 $8g$일 때,
$300$년 후 이 화석에 함유된 ${}^{14} C$의 양은 $2^k g$이다.
이때 유리수 $k$의 값을 구하여라.
매년 줄어드는 양은 비율 항상 같다고는 볼 수 없을 것이다.
어떤 주변 요소들에 의해 해년마다 다를 수밖에 없지만,
그렇게 심화적인 부분을 평가하는 문제는
고등과정에서 출제되지 않으므로
생각하지 않도록 하자.
따라서 처음 양을 $a$라 할 때,
매년 줄어드는 양의 비율은 $r$로 일정하다고 하면
$1$년후의 양은 $ar$,
$2$년후의 양은 $ar \cdot r=ar^2$,
$3$년후의 양은 $ar^2 \cdot r=ar^3$,
$\cdots$
$n$년후의 양은 $ar^n$
따라서 $5700$년후의 양은 $ar^{5700}$
반감기가 $5700$년이므로
따라서 $ar^{5700} = {1 \over 2} a$, $r^{5700} = {1 \over 2}$,
$r^{5700} = 2^{-1}$, $r=2^{- {1 \over 5700}}$
이제 현재양이 $8g$일 때, $300$년 후의 양을 구하자.
처음 비율을 적용하면
$8r^{300}$이고, $r=2^{- {1 \over 5700}}$이므로
$8 \times \left( 2^{-{1 \over 5700}} \right)^{300} = 2^3 \times 2^{-{ 1 \over 5700} \times 300}$
$=2^3 \times 2^{-{1 \over 19}} = 2^{3-{1 \over 19}} =2^{56 \over 19}$
$\therefore ~k= {56 \over 19}$
아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.