10.지수함수와 로그함수(3)

 

10.지수함수와 로그함수(3)

[물  음]

함수 $y= \{\log_{2}({2^{x-2} +2^{-x-1}}) \}^2 +2\log_{2}{(2^x+2 \cdot 2^{-x}})$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+5$

의 최솟값을 구하여라.

 

[설  명]

관찰을 하면 뭔가 치환이 될듯하다.

$2^{x-2}+2^{-x-1}$과  $2^x +2\cdot 2^{-x}$사이의 관계를 생각해보자.

 

$2^{x-2}+2^{-x-1}$$=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2^{-1}$

$=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2^{-1} \cdot 2 \cdot 2^{-1}$$=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2 \cdot 2^{-2}$

$=2^{-2} (2^x+2^{-x} \cdot 2)$

 

따라서  $2^{x-2}+2^{-x-1}$$=2^{-2} (2^x+ 2\cdot 2^{-x})$

 

이제  $\log_2 (2^x +2 \cdot 2^{-x}) =t$ 로 치환하면

$\log_2 2^{-2}(2^x +2 \cdot 2^{-x})$$=\log_2 2^{-2} + \log_2 (2^x +2 \cdot 2^{-x})$

$=-2+t$

 

또  $2^x +2\cdot 2^{-x}$에서  $2^x >0$,  $2^{-x}>0$이므로

산술평균과 기하평균사이의 관계를 이용하면

$2^x +2 \cdot 2^{-x} \ge 2 \sqrt{2^x \times 2 \cdot 2^{-x}} = 2 \sqrt2 $

 

따라서  $t=\log_2 (2^x +2 \cdot 2^{-x})$$\ge \log_2 {2\sqrt2} = {3 \over 2}$

 

전체를 치환하여 정리하면

$y=\{ \log_2 (2^{x-2} +2^{-x-1}) \}^2 +2\log_2 (2^x +2 \cdot 2^{-x})$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+5$

$~=(-2+t)^2 +2t+5=t^2 -2t+9~ \left( t \ge {3 \over 2} \right)$

 

 

따라서  $t= {3 \over 2}$일 때,

최솟값  ${9 \over 4} -3 +9 = {33 \over4 }$을 갖는다.