수학/수1

7.상용로그

라이프니츠 1050 라이프니츠 1050 2021. 3. 23. 19:38

 

[물 음]

$100 \le x<10000$에서 다음 물음에 답하여라.

(1) $\log x$의 소수부분과 $\log{\frac{1}{x}}$의 소수부분이 같을 때

$x$의 값을 구하시오.

 

(2) $\log x^4$의 소수부분과 $\log {1 \over x}$의 소수부분의 합이 $1$일 때,  $x$의 값을 구하시오.

 

 

[설 명]

(1) $\log x$ 의 소수부분과 $\log {1 \over x}$의 소수부분이 같으면

‘ $\log x - \log {1 \over x} =$정수이어야 한다.

따라서  $\log x+ \log x =2\log x =$ 정수

 

$100 \le x<10000$에서  $\log 100 \le \log x < \log 10000$

$2 \le \log x <4$,  $4 \le 2\log x <8$

 

따라서 $2\log x=4,~5,~6,~7$

$\log x=2,~ {5 \over 2},~3,~{7 \over 2}$

$x=100,~10^{5 \over 2},~1000,~10^{7 \over 2}$

 

$\therefore$ $x=100,~100\sqrt{10} ,~1000,~1000\sqrt{10}$

 

 

(2) $\log x^4$의 소수부분과 $\log {1 \over x}$의 소수부분의 합이 $1$이면

$\log x^4 + \log {1 \over x}$정수이어야 한다.

따라서  $4\log x -\log x =3\log x=$ 정수

 

$100 \le x<10000$에서  $\log 100 \le \log x < \log 10000$

$2 \le \log x <4$,  $6 \le 3\log x <12$

 

따라서  $3\log x=6,~7,~8,~9,~10,~11$

$\log x=2,~{7 \over 3},~{8 \over 3},~3,~{10 \over 3},~{11 \over 3}$

 

그런데 $\log x=2$이면  $\log x^4 =8$,  $\log {1 \over x} =-2$

$\log x^4$의 소수부분과 $\log {1 \over x}$의 소수부분의 합이 $1$이 아니다.

 

또  $\log x=3$인 경우도 마찬가지이므로

 

$\log x = {7 \over 3},~{8 \over 3},~{10 \over 3},~{11 \over 3}$

 

$x=10^{7 \over 3},~10^{8 \over 3},~10^{10 \over 3},~10^{11 \over 3 }$

 

$\therefore$ $x=100 \sqrt[3]{10},~100 \sqrt[3]{100} ,~1000\sqrt[3]{10} ,~1000\sqrt[3]{100}$

 

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

 

7.상용로그-연습문제.pdf
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