수학에풍덩

삼차방정식 $x^3 -1=0$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때, 다음을 $a \omega +b$(단, $a$, $b$는 실수)의 꼴로 나타내어라. $\omega$는 읽을 때, 오메가라고 읽는다. 학생들이 많이 어려워하는 오메가 문제이다. 이런 유형의 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구한다. $x^3 -1 =(x-1)(x^2 +x+1)=0$ $x-1=0$ 또는 $x^2 +x+1=0$ $x^2 +x+1=0$은 허근을 가지므로 그 근이 $\omega$ 또 $x^2 +x+1=0$ 은 계수가 모두 실수이므로 반드시 복소수의 켤레근을 가진다. 따라서 의 두 근은 $\omega$, ${\bar{\omega}}$ 이다. 따라서 $x^3 -1=0$의 세 근은 $x=1$, $\omega$, ${\bar{\omega}..

다음 사차방정식을 풀어라. $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ 이렇게 계수가 대칭이 되는 방정식을 상반방정식이라 부른다. 상반방정식은 인수정리를 이용할 수가 없다. 상수항의 약수를 대입하여도 식의값이 $0$이 되는 수를 찾을 수가 없다. 이것은 방정식의 인수 중 유리수의 인수가 없기 때문이다. 이 방정식은 푸는 순서를 잘 기억하여 풀어야 한다. ① $x^2$으로 묶는다. ② 치환한다. 따라서 $x+ {1 \over x}$를 $A$로 치환하자. $x^2 (A^2 +8A+15)=0$ $x^2 (A+3)(A+5)=0$ ③ $x$를 하나씩 분배한다. $(x^2 +1+3x)(x^2 +1+5x)=0$ $(x^2+3x+1)(x^2 +5x+1)=0$ 따라서 ..

어머니는 단순한 가족의 일원이 아닙니다. 한 가정의 해님과 같습니다. 해님이 없으면 우주 만물이 다 빛을 잃듯이 어머니의 존재는 그러합니다. 그것은 어머니의 사랑 때문입니다. 어머니의 미소 속에 신비가 있는 까닭은 바로 어머니의 사랑 속에 희생이 있는 까닭입니다. -정호승의 중에서... 곱디곱던 어머니의손 이제는 주름만 남았네요 무심한 세월이여라..

$x$에 관한 이차방정식 $x^2 -2(m-4)x+2m=0$의 근이 다음 조건을 만족하도록 실수 $m$의 값의 범위를 정하여라. (1) 두 근이 모두 $3$보다 크다. (2) 두 근이 모두 $3$보다 작다. (3) $3$이 두 근 사이에 있다. (1)두 근이 모두 $3$보다 크면, $f(x)=x^2 -2(m-4)+2m$라 하자. ① 두 근을 가져야한다. → $D \ge 0$ 중근인 경우도 두 근이라고 생각해야한다. $x^2 -2(m-4)x+2m=0$의 두 근은 $f(x)=x^2 -2(m-4)+2m$의 두 $x$절편으로 생각 할 수 있다. 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\alpha + \beta =2(m-4)$ ② 두 근이 모두 $3$보다 크면 $f(x)$의 두 $x$절편이 모두 $3$..

$0 \le x \le 2$에서 함수 $f(x)=-2x^2 -4kx -2k^2 +k+1$의 최댓값이 $0$이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하여라. 먼저 이차함수 $f(x)$를 정리하면 $f(x)=-2x^2 -4kx -2k^2 +k+1$ $~~~~~~~=-2(x^2 +2kx) -2k^2 +k+2$ $~~~~~~~=-2(x+k)^2 +k+2$ $f(x)$의 대칭축의 방정식은 $x=-k$이고 $f(x)$는 위로 볼록의 그래프이므로 대칭축과의 거리가 가까울수록 대응되는 $y$좌표가 높다. 따라서 최댓값이 달라지는 경우는 다음 세 가지로 생각 할 수 있다. 빨간색은 범위 $0 \le x \le 2$의 구간을 나타낸다. ① $-k \le 0$ $(k \ge 0)$ 인 경우 $x=-k$와 $x=0$사..

직선 $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점을 $A$, $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. 점 $P(a,~b)$가 점 $A$에서 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 점 $B$까지 움직일 때, $a^2 +8b+1$의 최댓값을 구하여라. 먼저 $A$, $B$의 좌표를 구하자. $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점은 $(0,~1)$ 따라서 $A(0,~1)$ $y= - {1 \over4 }x+1$이 $x$축과 만나는 점은 $(4,~0)$ 따라서 $B(4,~0)$ $P(a,~b)$는 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 움직이므로 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$ 위의 점이다. 따라서 $b= - {1 \over4 }a+1..

PDF PRO 에서 PDF/A 모드는 편집도 안되고 당황스럽다. 이 모드를 간단하게 해제하는 방법이 있다. [편집]-[기본설정] 탭을 열고 맨아래 PDF/A 모드에서 문서보기를 안함으로 설정 이제 편집이 된당^^

이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) \le f(1)$이고 $f(-2)=0$일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le f(1)$ 이면 $f(x)$는 $x=1$에서 최댓값을 갖는다. 따라서 $f(x)=a(x-1)^2 +p$ $(a

잘 쓰던 도어락이 시끄러운 음악소리가 나고, 잘 잠기지도 않는다. 왜 그럴까? 고민하다 분해를 시작한다. 잘 알지도 못하는 기계 분해해서 본다고 뭘 알 수 있으랴. 한참 헤매다 스트레스에 잠길때 나오는 두개의 쇠를 억지로 잡아빼보고 넣어본다. 이내 기기손상이 있을지도 모르겠다는 후회가........ 회사에 전화한다. 증상을 얘기하니 제일먼저 "배터리 바꿔보셨어요? " 아뿔사 그런 쉬운 생각을.... "바꿔보고 다시 전화드릴께요." 후다닥 달려가 건전지를 사와서 바로 교체했더니, 짜잔 음악소리 꺼지고 힘차게 작동하는 듯 하지만 억지로 잡아빼고 넣어본 그 쇠가 문제다 "어! 이게 끝까지 안나오네..." 힘있게 작동은 하지만 잠기질않아 전화를 다시해보니 사정을 모르는 안내원이 오래되면 도어를 잠그는 모터의 톱..

두 다항식 $f(x)=x^2 +x+1$, $g(x)=ax^2 +bx+3$ (단, $a \not =0$ )가 있다. 방정식 $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$가 $g( \alpha^2 )=4 \alpha$, $g( \beta^2 )=4 \beta $를 만족할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 구하여라. $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$이면 $x^2 +x+1=0$에서 $x^2 +x+1=(x- \alpha )(x- \beta )=0$이고 근과 계수의 관계에 의해 $ \alpha + \beta =-1$, $ \alpha \beta =1$ 또, $ \alpha^2 + \alpha +1=0$, $ \beta^2 + \beta +1=0$ $g(x)=ax^2 +bx+..