수학에풍덩

[문제1] $2^x =3^{-y}$, $9^y = {\sqrt6}^z$일 때, ${1\over x}-{1 \over y}$을 $z$를 이용하여 나타내어라. [문제2] 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $30^a =8$, $30^b =3$일 때, $10^{{2a+b} \over {1-b}}$의 값을 구하여라. [문제1. 풀이] 먼저 $2^x =3^{-y}$와 $9^y = {\sqrt6}^z$를 연결하여야 한다. $2^x =3^{-y}$ $\rightarrow$ $2^{-x} =3^{y}$ $\rightarrow$ $(2^{-x})^2 =(3^{y})^2$ $\rightarrow$ $4^{-x} =9^{y}$ 따라서 $4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z}$ $4^{-x} =9^y = 6^..

$2 \le n \le 100$인 자연수 $n$에 대하여 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이 되도록 하는 $n$의 개수를 구하시오. “$a$ 의 $n$제곱근이 $x$다.”의 명제를 식으로 표현하면 $n$제곱하여 $a$가 되는 수가 $x$이므로 $x^n =a$ $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이면 “어떤 자연수의 $n$제곱근이 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$ ”라고 할 수 있고, 이를 “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”와 대응을 시켜보면 $a$ : 어떤 자연수 $x$ : $\left( \sqrt[7]{3^3} \righ..

방사성 물질의 양이 처음의 양의 $1 \over 2$로 줄어드는 데 걸리는 시간을 반감기라 하는데, 방사성 탄소 동위 원소 ${}^{14} C$의 반감기는 $5700$년이라고 한다. 어떤 생물체의 화석에 현재 함유되어 있는 ${}^{14} C$의 양이 $8g$일 때, $300$년 후 이 화석에 함유된 ${}^{14} C$의 양은 $2^k g$이다. 이때 유리수 $k$의 값을 구하여라. 매년 줄어드는 양은 비율 항상 같다고는 볼 수 없을 것이다. 어떤 주변 요소들에 의해 해년마다 다를 수밖에 없지만, 그렇게 심화적인 부분을 평가하는 문제는 고등과정에서 출제되지 않으므로 생각하지 않도록 하자. 따라서 처음 양을 $a$라 할 때, 매년 줄어드는 양의 비율은 $r$로 일정하다고 하면 $1$년후의 양은 $ar$,..

실수 $x$와 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $x$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 $f(n,~x)$라 할 때, 옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고르시오. 먼저 기본개념을 정리하자. “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”라고 하면 $n$제곱해서 $a$가 되는 수가 $x$라는 뜻이므로 $x^n =a$이다. $x^n =a$의 근의 개수는 일반적으로 $n$개이다. 그렇지만 $x^n =a$의 모든 근을 구할 수는 없으므로 대개의 경우 실근의 개수만 생각을 한다. 만약, $x^2 =3$이면 실근은 $x=\pm \sqrt3$으로 두 개 $x^4 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[4]{3}$으로 두 개 $x^6 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[6]{3}$ 으로 두 개 $\cdots..