수학/수1

6.로그(2)

라이프니츠 1050 라이프니츠 1050 2021. 3. 23. 13:53

 

[물 음]

$a$,  $b$는 같은 부호이고,  $a^2 -2ab -9b^2=0$일 때,

$\log{(a^2 +ab-6b^2)}-\log{(a^2 +4ab-3b^2)}$의 값을 구하여라.

 

[설 명]

$a^2 -2ab -9b^2=0$을 보면

뭔가 이차방정식 같으면서도 잘 정리가 되지 않는다.

이 문제의 핵심은 $a^2 -2ab -9b^2=0$을

이차방정식으로 바꾸는 것이다.

 

양변을 $b^2$으로 나누면

$\left(\frac{a}{b} \right)^2 -2\left(\frac{a}{b} \right) -9=0$

 

$\frac{a}{b}=t$로 치환하면 ‘$a$,  $b$는 같은 부호에서  $t>0$이고,

$t^2 -2t-9=0$

이제 이차방정식이 되었다.^^

 

위 식에서 근의 공식으로 $t$를 구하자.

$t=1 \pm \sqrt{10}$

따라서  $t=1+ \sqrt{10}$,  $t^2 =2t+9$

 

$\log{(a^2 +ab-6b^2)}-\log{(a^2+4ab-3b^2)}$를 정리

 

$\log{\frac{a^2 +ab-6b^2}{a^2 +4ab-3b^2}}$에서 분모 분자를  $b^2$으로 나누면

 

$\log{\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2 +\left(\frac{a}{b}\right) -6}{\left(\frac{a}{b}\right)^2 +4\left(\frac{a}{b}\right) -3}}=\log{\frac{t^2 +t-6}{t^2 +4t-3}}$

 

$=\log{\frac{2t+9+t-6}{2t+9+4t-3}}=\log{\frac{3t+3}{6t+6}}=\log{\frac{1}{2}}=-\log{2}$

 

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

6.로그(2)-연습문제.pdf
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