8.지수함수와 로그함수

 

[2020년 9월 교육청 19번]

그림과 같이 실수 $t$ ($1<t<100$ )에 대하여

점 $P(0,~t)$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이

곡선 $y=2^x$과 만나는 점을  $A$,

점  $A$에서 축에 내린 수선의 발을  $Q$라 하자.

점  $R(0,~2t)$를 지나고  $x$축에 평행한 직선이

곡선  $y=2^x$과 만나는 점을  $B$,

점  $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을  $S$라 하자.

사각형  $ABRP$의 넓이를  $f(t)$,

사각형 $AQSB$의 넓이를  $g(t)$라 할 때, 

${f(t)} \over {g(t)}$의 값이 자연수가 되도록 하는

모든  $t$의 값의 곱을 구하여라.

 

 

[설 명]

먼저  $A$,  $B$의 좌표를 구하자.

$A$의  $y$좌표가  $t$이므로  $t=2^x$,  $x= \log_{2}{t}$

따라서  $A(\log_{2}{t},~t)$

 

$B$의  $y$좌표가  $2t$이므로  $2t=2^x$,  $x= \log_{2}{2t}$

따라서  $B(\log_{2}{2t},~2t)$

 

 

따라서 사각형  $ABRP$의 넓이

$f(t)= {1 \over 2} \times (\log_{2}{t} +\log_{2}{2t}) \times (2t-t)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= {1 \over 2} \times t \times \log_{2}{2t^2}$

 

사각형  $AQSB$의 넓이

$g(t)= {1 \over 2} \times (t+2t) \times (\log_{2}{2t}-\log_{2}{t})={1 \over 2} \times 3t$

 

${{f(t)} \over {g(t)}}$$ = {{ {1 \over 2} \times t \times \log_{2}{2t^2}} \over {{1 \over 2} \times 3t }}$$ = {{\log_{2}{2} + 2\log_{2}{t}} \over 3}$

 

${{f(t)} \over {g(t)}}$의 값이 자연수이므로

 

${{1+2\log_{2}{t}} \over 3} =N$ ( $N$은 자연수)

 

$1<t<100$이면

$\log_{2}{1} <\log_{2}{t} <\log_{2}{100}$,  $0 <\log_{2}{t} <\log_{2}{100}$

 

$0 <2\log_{2}{t} <2\log_{2}{100}$,  $0 <2\log_{2}{t} <\log_{2}{10000}$

 

$1 <1+2\log_{2}{t} <1+\log_{2}{10000}$,  $1 <1+2\log_{2}{t} <\log_{2}{20000}$

 

${1 \over 3} <{{1+2\log_{2}{t}} \over 3} <{{\log_{2}{20000}} \over 3}$, 

${1 \over 3} <{{1+2\log_{2}{t}} \over 3} <4. \times \times$

 

따라서, 가능한 $N=1,~2,~3,~4$

 

${{1+2\log_{2}{t}} \over 3}=N$,  $\log_{2}{t} = {{3N-1} \over 3}$

 

$t=2^{{3N-1} \over 2}$

 

따라서 $t=2,~2^{5 \over 2},~2^4,~2^{11 \over 2}$

 

모든  $t$의 값의 곱은 $2^{1+ {5 \over2}+4+{11 \over 2}} =2^{13}$