수학/수1

5.로그

라이프니츠 1050 라이프니츠 1050 2021. 3. 22. 19:20

 

[물 음]

삼각형의 세 변의 길이 $a$,  $b$,  $c$사이에

$\log_{a+b}{c}+\log_{a-b}{c}=\log_{a+b}{(a^2 -c^2)}\times\log_{a-b}{c}$

가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? ,  $c\neq0$이다.

 

[설 명]

로그의 연산 문제를 풀때는 일단 밑을 맞춘 후 생각한다.

밑을 $10$으로 맞추자.

$\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a+b)}}+\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}=\frac{\log_{10}{(a^2 -c^2 )}}{\log_{10}{(a+b)}}\times\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}$

 

양변에 $\log_{10}{(a+b)}\times\log_{10}{(a-b)}$를 곱하면

$\log_{10}{c}\cdot\log_{10}{(a-b)}+\log_{10}{c}\cdot\log_{10}{(a+b)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\log_{10}{(a^2 -c^2)}\cdot\log_{10}{c}$

 

$\log_{10}{c}\neq0$이므로 양변을 $\log_{10}{c}$로 나누면

$\log_{10}{(a-b)}+\log_{10}{(a+b)}=\log_{10}{(a^2 -c^2 )}$

$\log_{10}{(a-b)(a+b)}=\log_{10}{(a^2 -c^2 )}$

$(a-b)(a+b)=a^2 -c^2$

$a^2 -b^2 =a^2 -c^2$,  $b^2 =c^2$

 

따라서 $b=c$인 직각삼각형이다.

 

 

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