어려워하는 수학의 주제에 대한 쉬운 설명 그리고 일상의 이야기

고1 13

고차방정식 - 오메가

삼차방정식 $x^3 -1=0$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때, 다음을 $a \omega +b$(단, $a$, $b$는 실수)의 꼴로 나타내어라. $\omega$는 읽을 때, 오메가라고 읽는다. 학생들이 많이 어려워하는 오메가 문제이다. 이런 유형의 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구한다. $x^3 -1 =(x-1)(x^2 +x+1)=0$ $x-1=0$ 또는 $x^2 +x+1=0$ $x^2 +x+1=0$은 허근을 가지므로 그 근이 $\omega$ 또 $x^2 +x+1=0$ 은 계수가 모두 실수이므로 반드시 복소수의 켤레근을 가진다. 따라서 의 두 근은 $\omega$, ${\bar{\omega}}$ 이다. 따라서 $x^3 -1=0$의 세 근은 $x=1$, $\omega$, ${\bar{\omega}..

수학/수상 2021.03.15 (5)

고차방정식 - 상반방정식

다음 사차방정식을 풀어라. $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ 이렇게 계수가 대칭이 되는 방정식을 상반방정식이라 부른다. 상반방정식은 인수정리를 이용할 수가 없다. 상수항의 약수를 대입하여도 식의값이 $0$이 되는 수를 찾을 수가 없다. 이것은 방정식의 인수 중 유리수의 인수가 없기 때문이다. 이 방정식은 푸는 순서를 잘 기억하여 풀어야 한다. ① $x^2$으로 묶는다. ② 치환한다. 따라서 $x+ {1 \over x}$를 $A$로 치환하자. $x^2 (A^2 +8A+15)=0$ $x^2 (A+3)(A+5)=0$ ③ $x$를 하나씩 분배한다. $(x^2 +1+3x)(x^2 +1+5x)=0$ $(x^2+3x+1)(x^2 +5x+1)=0$ 따라서 ..

수학/수상 2021.03.15 (2)

이차방정식과 이차함수4 - 근의분리

$x$에 관한 이차방정식 $x^2 -2(m-4)x+2m=0$의 근이 다음 조건을 만족하도록 실수 $m$의 값의 범위를 정하여라. (1) 두 근이 모두 $3$보다 크다. (2) 두 근이 모두 $3$보다 작다. (3) $3$이 두 근 사이에 있다. (1)두 근이 모두 $3$보다 크면, $f(x)=x^2 -2(m-4)+2m$라 하자. ① 두 근을 가져야한다. → $D \ge 0$ 중근인 경우도 두 근이라고 생각해야한다. $x^2 -2(m-4)x+2m=0$의 두 근은 $f(x)=x^2 -2(m-4)+2m$의 두 $x$절편으로 생각 할 수 있다. 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\alpha + \beta =2(m-4)$ ② 두 근이 모두 $3$보다 크면 $f(x)$의 두 $x$절편이 모두 $3$..

수학 2021.03.14 (9)

이차방정식과 이차함수3

$0 \le x \le 2$에서 함수 $f(x)=-2x^2 -4kx -2k^2 +k+1$의 최댓값이 $0$이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하여라. 먼저 이차함수 $f(x)$를 정리하면 $f(x)=-2x^2 -4kx -2k^2 +k+1$ $~~~~~~~=-2(x^2 +2kx) -2k^2 +k+2$ $~~~~~~~=-2(x+k)^2 +k+2$ $f(x)$의 대칭축의 방정식은 $x=-k$이고 $f(x)$는 위로 볼록의 그래프이므로 대칭축과의 거리가 가까울수록 대응되는 $y$좌표가 높다. 따라서 최댓값이 달라지는 경우는 다음 세 가지로 생각 할 수 있다. 빨간색은 범위 $0 \le x \le 2$의 구간을 나타낸다. ① $-k \le 0$ $(k \ge 0)$ 인 경우 $x=-k$와 $x=0$사..

수학/수상 2021.03.12 (10)

이차방정식과 이차함수2

직선 $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점을 $A$, $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. 점 $P(a,~b)$가 점 $A$에서 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 점 $B$까지 움직일 때, $a^2 +8b+1$의 최댓값을 구하여라. 먼저 $A$, $B$의 좌표를 구하자. $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점은 $(0,~1)$ 따라서 $A(0,~1)$ $y= - {1 \over4 }x+1$이 $x$축과 만나는 점은 $(4,~0)$ 따라서 $B(4,~0)$ $P(a,~b)$는 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 움직이므로 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$ 위의 점이다. 따라서 $b= - {1 \over4 }a+1..

수학/수상 2021.03.12

이차방정식2

두 다항식 $f(x)=x^2 +x+1$, $g(x)=ax^2 +bx+3$ (단, $a \not =0$ )가 있다. 방정식 $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$가 $g( \alpha^2 )=4 \alpha$, $g( \beta^2 )=4 \beta $를 만족할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 구하여라. $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$이면 $x^2 +x+1=0$에서 $x^2 +x+1=(x- \alpha )(x- \beta )=0$이고 근과 계수의 관계에 의해 $ \alpha + \beta =-1$, $ \alpha \beta =1$ 또, $ \alpha^2 + \alpha +1=0$, $ \beta^2 + \beta +1=0$ $g(x)=ax^2 +bx+..

수학/수상 2021.03.10 (4)

이차방정식

다항식 $x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$이 $x$, $y$에 관한 두 일차식의 곱으로 나타내어질 때, 상수 $k$의 값을 구하여라. $x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$을 내림차순으로 정리하면 $x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$ 이제 위 $x$에 대한 식의 근을 구하면 여기에서 $(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$은 $x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2=0$에서의 판별식이니 $D=(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$라 하자. 그러면 즉, $x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$ 이고 만약 ${\sqrt D}$에서 루트가 없어지지 않는다면 위 식은 무리식이 된다. 따라서 ${\sqrt D}$ 는 루트가 없어지는 수 즉, $D$는 완전제곱수가 되..

수학/수상 2021.03.10 (2)

복소수1

$z$ 가 실수가 아닌 복소수이고, $z+ {1 \over z}$이 실수일 때, $z \bar z$ 의 값을 구하여라. 위 문제를 풀기위해서는 다음의 정리들을 알고 사용할 수 있어야 한다. 먼저, "실수의 켤레복소수는 그 실수"이다. 예를 들어 ${\bar3} =3$ 이다. 따라서 위의 정리 ②을 사용하여 양변에 $z \bar z$를 곱하면 만약 $ {\bar z} -z=0$ 즉, $ {\bar z}=z$ 이면 “실수의 켤레복소수는 그 실수”에서 $z$ 는 실수이어야 하므로 모순이다. 따라서 $z {\bar z}-1=0$, $z {\bar z}=1$ 이다. 아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

수학/수상 2021.03.08 (2)

나머지정리와 방정식

이차식 $P(x)$ 에 대하여 ${P(1) \over 30} = {P(2) \over 15} = {P(3) \over 10} = {1 \over 3}$ 이 성립할 때, $P(x)$ 를 $x-6$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. 이 문제를 보면 대개의 사람들은 이렇게 풀려고 한다. $P(x)=ax^2 +bx+c$ $P(1)=10$ , $P(2)=5$ , $P(3)= {10 \over 3}$ 그런데 위를 정리하여 식을 세우면 풀수는 있으나 그 과정이 너무 복잡하다. 그러면 이렇게 생각을 해보자. 양변에 $30$ 을 곱한다. $P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$ $P(1)-10=0$ , $2P(2)-10=0$ , $3P(3)-10=0$ 그러면, $xP(x)-10=0$ 이란 방..

수학/수상 2021.03.08

나머지정리2

다항식 $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이다. 또 $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이다. (1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지를 구하여라. (2) $f(x)$ 를 $x^2 -8x+15$ 로 나눈 나머지를 구하여라. 주어진 조건 ① $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이면 $f(x)=(x-5)g(x)+1$이고, $f(5)=1$ ② $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이면 $g(x)=(x-3)Q(x)+2$ 이고, $g(3)=2$ 구할 것 (1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지 $f(x)=(x-3)A(x)+R$ 에서 $R$ 즉, $R=f(3)$ (2) $f(x)$ 를 $..

수학/수상 2021.03.08 (2)