9.지수함수와 로그함수(2)

9.지수함수와 로그함수(2)

[2019년 6월 교육청 고2(나형) 30번]

두 양수  $a$,  $k$ ($k \not=1$)에 대하여 함수

 

$f(x)=\begin{cases}2\log_{k}{(x-k+1)+2^{-a}} & (x \ge k)\\{}\\2\log_{\frac{1}{k}}{(-x+k+1)+2^{-a}} & (x < k)\end{cases}$

 

가 있다.  $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때,
방정식 $f(x)=g(x)$의 해는 $- {3\over 4}$,  $t$,  $5 \over4$이다.

$30(a+k+t)$의 값을 구하시오. (단,  $0<t<1$) [4점]

 

[풀 이]

먼저  $k$의 값을 생각해보자.

$x \ge k$일 때의 점근선의 방정식은  $x=k-1$

$x<k$일 때의 점근선의 방정식은  $x=k+1$

또,  $a>0$이므로  $2^{-a} <1$

따라서 $0<2^{-a} <1$

 

① $k>1$이면  $0<2^{-a}<1<k$

$y=2\log_{k}{(x-k+1)+2^{-a}}$$~ (x \ge k)$ 는

위와 같은 모양이고,

 

$y=2\log_{\frac{1}{k}}{(-x+k+1)+2^{-a}}$$~(x < k)$ 는

위와 같으므로

 

$y=f(x)$의 그래프는 아래와 같다.

 

$f(x)=g(x)$의 근은

$f(x)$와 그 역함수 $g(x)$와의 교점의 $x$좌표와 같고

또,  $f(x)$와  $y=x$와의 교점의  $x$좌표와 같다.

 

따라서

 

 

그런데  $1<k<t$이므로 모순이다. ( $\because$ $0<t<1$ )

 

 

② $0<k<1$이면

$y=f(x)$의 그래프는 아래와 같고,

 

 

$f(x)=g(x)$의 해가

$y=f(x)$와  $y=x$의 교점이 아닌 경우

 

$f(x)=g(x)$

$f(r)=g(r)=p$라 하면

$f(r)=p$,

$g(r)=p$에서  $r=g^{-1} (p)$,  $r=f(p)$

 

$f(r)=p$이면  $r=g(p)$

$g(r)=p$이면  $r=f(p)$

 

따라서  $f(p)=g(p)=r$

$\therefore$ $f(x)=g(x)$의 두 근이  $r$과  $p$

 

따라서

$f(x)=g(x)$의 해가

$y=f(x)$와  $y=x$의 교점이 아닌 경우는

반드시 그 근이  $2$개씩 쌍으로 생긴다.

 

또,  $y=f(x)$가  $(r,~p)$를 지나면

다시  $(p,~r)$을 지나므로

두 점  $(r,~p)$,  $(p,~r)$를 지나는 직선의 기울기는

${{p-r} \over {r-p}}=-1$이므로

 

결국

$f(x)=g(x)$의 해가

$y=f(x)$와  $y=x$의 교점이 아닌 경우는

반드시 그 근이  $2$개씩 쌍으로 생기고,

그 교점은 기울기가  $-1$인 직선과의 교점이다.

 

그런데 교점의  $x$좌표는  $-{3 \over4 },~t,~{5 \over4}$이다.

여기서  $0<t<1$이므로  $-{3 \over 4}<t<{5 \over 4}$인

세 개가 나와야 하므로

교점의 좌표는  $\left( -{3 \over 4},~{5 \over4} \right)$,  $\left( {5 \over 4},~-{3 \over4} \right)$이고

나머지 한 점은 두 개의 쌍이 아니므로

$y=x$와의 교점 즉,  $(t,~t)$이어야 한다.

 

 

$f \left( -{3 \over 4} \right) = {5 \over4}$,  $f \left( {5 \over 4} \right) = -{3 \over4}$ 에서

 

$\frac{5}{4}=2\log_{\frac{1}{k}}{\left(\frac{3}{4}+k+1 \right)}+2^{-a}$

$-\frac{3}{4}=2\log_{k}{\left(\frac{5}{4}-k+1 \right)}+2^{-a}$

 

두 식을 빼면

$2=-2\log_{k}{\left(\frac{7}{4}+k\right)}-2\log_{k}{\left(\frac{9}{4}-k\right)}$

$-1=\log_{k}{\left(\frac{7}{4}+k\right)}+\log_{k}{\left(\frac{9}{4}-k\right)}$

$k^{-1}=\left(\frac{7}{4} +k \right) \left(\frac{9}{4} -k \right)$

 

정리하면

$16k^3 -8k^2 -63k+16=0$

 

인수분해가 쉽지않다.

짜증이 밀려온다.^^

하지만 다왔으므로 참고 해보자.

 

$k= {1 \over 4}$를 대입하면 위식은 성립하므로

조립제법으로 정리하면

$\left( k- { 1\over4} \right) (16k^2 -4k-64)=0$

$(4k-1)(4k^2 -k-16)=0$

$k= {1\over4}$ 또는  $k= {{1 \pm \sqrt{257}} \over 8}$

 

그런데  $0<k<1$이므로  $k= {1\over4}$

$f \left( -{3 \over 4} \right) = {5 \over4}$,  $k= {1 \over 4}$이므로

$\frac{5}{4}=2\log_{4}\left({\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1} \right)+2^{-a}$,  $\frac{5}{4}=2\log_{4}{2}+2^{-a}$

${5\over4}=1+2^{-a}$,  ${1\over4}=2^{-a}$,  $a=2$

 

$y=f(x)$는  $(k,~2^{-a})$를 지나는데

$k={1\over4}$,  $a=2$이므로

$(k,~2^{-a})= \left( {1\over4},~{1\over4} \right)$

이 점은  $y=x$위의 점이므로

따라서 $t= {1\over4}$

 

$\therefore$ $30(a+k+t)=30 \left( 2+{1\over4}+{1\over4} \right)=75$