수학/수1

4.지수(4)

라이프니츠 1050 라이프니츠 1050 2021. 3. 19. 15:59

 

[문제1] $2^x =3^{-y}$, $9^y = {\sqrt6}^z$일 때,

${1\over x}-{1 \over y}$을 $z$를 이용하여 나타내어라.

 

[문제2] 두 실수 $a$,  $b$에 대하여 $30^a =8$,  $30^b =3$일 때,  $10^{{2a+b} \over {1-b}}$의 값을 구하여라.

 

[문제1. 풀이]

먼저 $2^x =3^{-y}$$9^y = {\sqrt6}^z$를 연결하여야 한다.

$2^x =3^{-y}$ $\rightarrow$ $2^{-x} =3^{y}$ $\rightarrow$ $(2^{-x})^2 =(3^{y})^2$ $\rightarrow$ $4^{-x} =9^{y}$

따라서 $4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z}$

 

$4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z} =k$ 라 하면

$4^{-x} =k$$9^y =k$$6^{{1 \over 2} z} =k$

 

$4^{-x} =k$ 이면 $4^{-1} =k^{1 \over x}$

$9^y =k$ 이면 $9 =k^{1 \over y}$

 

두 식을 변변 나누면

$ {1 \over 4} \div 9 = k^{1 \over x} \div k^{1 \over y}$,  $ {1 \over 36} = k^{{1 \over x} - {1 \over y}}$

 

$6^{{1 \over 2} z} =k$ $\rightarrow$ $6 =k^{2 \over z}$ $\rightarrow$ $6^{-2} = \left(k^{2 \over z} \right)^{-2}$

 

따라서 ${1 \over 36} =k^{- {4 \over z}}$

 

$\therefore$ $k^{{1 \over x}-{1 \over y}} = k^{-{ 4 \over z}}$,  ${1 \over x} -{1 \over y} = - {4 \over z}$

 

 

[문제2. 풀이]

먼저 $10^{{2a+b} \over {1-b}}$에서 

${\triangle}^{2a+b}$ 또는  ${\bigtriangledown}^{1 \over {1-b}}$ 의 꼴을 만들어 놓고 생각한다.

 

$30^a =8$  $\rightarrow$  $30^{2a} =8^2$,  $30^b=3$

따라서  $30^{2a+b} =64 \times 3=192$

 

$30^b=3$  $\rightarrow$  $30^{-b}=3^{-1}$  $\rightarrow$  $30 \times 30^{-b}=30 \times {1 \over 3}$

 

따라서 $30^{1-b} =10$  $\rightarrow$  $30=10^{{1 \over 1-b}}$

 

자 이제 계획이 생겼다.

$10^{{2a+b} \over {1-b}}$$= \left( 10^{1 \over 1-b} \right)^{2a+b}$$=30^{2a+b} =192$

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

4.지수4-연습문제.pdf
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