수학에풍덩

13.지수로그부등식 [2019년 고2 6월 가형 28번] $100$이하의 자연수 $k$에 대하여 $2 \le {\log_n {k}}

[2019년 6월 고2 가형 30] $2\le k

11.지수로그방정식 [물 음] 방정식 $9^{x}-2\cdot 3^{x+2} +k=0$이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오. [설 명] 먼저 $3^x =t$로 치환하면 항상 $3^x >0$이므로 $t>0$ $9^{x}-2\cdot 3^{x+2} +k=0$이 서로 다른 두 양의 실근을 가지면 $x$의 값이 $0$보다 큰 두개라는 소리이다. $3^x$에서 $x>0$이면 $3^x >1$, $t>1$ 따라서 $t$는 $1$보다 큰 두 개의 값을 가지므로 $9^{x}-2\cdot 3^{x+2} +k=0$ $(3^{x})^2-2\cdot 3^2 \cdot3^{x+2} +k=0$ $t^2 -18t+k=0$에서 $t$의 두 개의 값 즉, 두 근이 모두 $1$보다 크다. 그러면 이제부..

10.지수함수와 로그함수(3) [물 음] 함수 $y= \{\log_{2}({2^{x-2} +2^{-x-1}}) \}^2 +2\log_{2}{(2^x+2 \cdot 2^{-x}})$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+5$ 의 최솟값을 구하여라. [설 명] 관찰을 하면 뭔가 치환이 될듯하다. $2^{x-2}+2^{-x-1}$과 $2^x +2\cdot 2^{-x}$사이의 관계를 생각해보자. $2^{x-2}+2^{-x-1}$$=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2^{-1}$ $=2^x \cdot 2^{-2} +2^{-x} \cdot 2^{-1} \cdot 2 \cdot 2^{-1}$$=2^..

9.지수함수와 로그함수(2) [2019년 6월 교육청 고2(나형) 30번] 두 양수 $a$, $k$ ($k \not=1$)에 대하여 함수 $f(x)=\begin{cases}2\log_{k}{(x-k+1)+2^{-a}} & (x \ge k)\\{}\\2\log_{\frac{1}{k}}{(-x+k+1)+2^{-a}} & (x < k)\end{cases}$ 가 있다. $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 방정식 $f(x)=g(x)$의 해는 $- {3\over 4}$, $t$, $5 \over4$이다. $30(a+k+t)$의 값을 구하시오. (단, $0

[2020년 9월 교육청 19번] 그림과 같이 실수 $t$ ($1

[물 음] $100 \le x

[물 음] $a$, $b$는 같은 부호이고, $a^2 -2ab -9b^2=0$일 때, $\log{(a^2 +ab-6b^2)}-\log{(a^2 +4ab-3b^2)}$의 값을 구하여라. [설 명] $a^2 -2ab -9b^2=0$을 보면 뭔가 이차방정식 같으면서도 잘 정리가 되지 않는다. 이 문제의 핵심은 $a^2 -2ab -9b^2=0$을 이차방정식으로 바꾸는 것이다. 양변을 $b^2$으로 나누면 $\left(\frac{a}{b} \right)^2 -2\left(\frac{a}{b} \right) -9=0$ $\frac{a}{b}=t$로 치환하면 ‘$a$, $b$는 같은 부호’에서 $t>0$이고, $t^2 -2t-9=0$ 이제 이차방정식이 되었다.^^ 위 식에서 근의 공식으로 $t$를 구하자. $t=1 ..

[물 음] 삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$사이에 $\log_{a+b}{c}+\log_{a-b}{c}=\log_{a+b}{(a^2 -c^2)}\times\log_{a-b}{c}$ 가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? 단, $c\neq0$이다. [설 명] 로그의 연산 문제를 풀때는 일단 밑을 맞춘 후 생각한다. 밑을 $10$으로 맞추자. $\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a+b)}}+\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}=\frac{\log_{10}{(a^2 -c^2 )}}{\log_{10}{(a+b)}}\times\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}$ 양변에 $\log_{10}{(a+b)}\times..

[문제1] $2^x =3^{-y}$, $9^y = {\sqrt6}^z$일 때, ${1\over x}-{1 \over y}$을 $z$를 이용하여 나타내어라. [문제2] 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $30^a =8$, $30^b =3$일 때, $10^{{2a+b} \over {1-b}}$의 값을 구하여라. [문제1. 풀이] 먼저 $2^x =3^{-y}$와 $9^y = {\sqrt6}^z$를 연결하여야 한다. $2^x =3^{-y}$ $\rightarrow$ $2^{-x} =3^{y}$ $\rightarrow$ $(2^{-x})^2 =(3^{y})^2$ $\rightarrow$ $4^{-x} =9^{y}$ 따라서 $4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z}$ $4^{-x} =9^y = 6^..