13.지수로그부등식

 

13.지수로그부등식

[2019년 고2 6월 가형 28번]

$100$이하의 자연수 $k$에 대하여 

$2 \le {\log_n {k}}<3$을 만족시키는

자연수  $n$의 개수를  $f(k)$라 하자.

예를 들어  $f(30)=2$이다. 

$f(k)=4$가 되도록 하는  $k$의 최댓값을 구하시오. [$4$점]

 

 

$2 \le {\log_n {k}}<3$를 정리하면  $n^2 \le k <n^3$

 

먼저  $f(30)=2$을 확인해보자.

 

$n^2 \le k <n^3$에서

$n=2$이면  $2^2 \le 30 <2^3$  거짓

$n=3$이면  $3^2 \le 30 <3^3$  거짓

$n=4$이면  $4^2 \le 30 <4^3$ 참

$n=5$이면  $5^2 \le 30 <5^3$ 참

$n=6$이면  $6^2 \le 30 <6^3$  거짓

이후는 더 커지므로 확인할 필요가 없다.

 

따라서  $n=4$,  $5$로  $2$개 이므로  $f(30)=2$

 

이제  $f(k)=4$인 경우를 생각하면

$n=1$  이면 $1^2 \le k <1^3$  항상 거짓

따라서 가능한  $n$은  $2$부터이다.

만약  $n$이  $2$,  $3$,  $4$,  $5$로  $4$개가 가능한지 확인해보자.

 

$n=2$이면  $2^2 \le k <2^3$,  $4 \le k <8$

$n=3$이면  $3^2 \le k <3^3$,  $9 \le k <27$  모순

$n=4$이면  $4^2 \le k <4^3$

$n=5$이면  $5^2 \le k <5^3$

 

$n=3$일 때부터 모순이 생긴다.

$4 \le k <8$,  $9 \le k <27$을 동시에 만족하는  $k$는 없다.

 

우리가 확인할 것은

연속적인  $n$의  $4$개의 값에 따른

$4$개의 부등식만을 동시에 참이되게하는

$k$를 찾아야 한다.

 

 

먼저 쭉 나열을 해보면

$n=2$이면  $2^2 \le k <2^3$,  $4 \le k <8$

$n=3$이면  $3^2 \le k <3^3$,  $9 \le k <27$  모순

$n=4$이면  $4^2 \le k <4^3$,  $16 \le k <64$

$n=5$이면  $5^2 \le k <5^3$,  $25 \le k <125$

$n=6$이면  $6^2 \le k <6^3$,  $36 \le k <216$

$n=7$이면  $7^2 \le k <7^3$,  $49 \le k <343$

$n=8$이면  $8^2 \le k <8^3$,  $64 \le k <512$

$n=9$이면  $9^2 \le k <9^3$,  $81 \le k <729$

$n=10$이면  $10^2 \le k <10^3$,  $100 \le k <1000$

 

$n=4,~5,~6,~7$일 때

공통범위는  $49 \le k <64$

 

$n=5,~6,~7,~8$일 때

공통범위는 $64 \le k <125$ 인데

$81$이상이면  $n$은  $9$도 가능하다.

따라서 $64 \le k <81$

 

$n=6,~7,~8,~9$일 때

공통범위는 $81 \le k <216$

 

그런데  $n$은  $5$가 되면 안되므로

$25 \le k <125$를 제외하면  $125 \le k <216$

 

또  $n$은  $10$이면 안되므로

$100 \le k <1000$을 제외하면 남는게 없다.

 

따라서

$n=5,~6,~7,~8$일 때만 $4$개가 가능하고

그 때의  $k$의 범위는 $64 \le k <81$이다.

 

 

따라서  $k$의 최댓값은  $80$이다.