수학에풍덩

다항식 $x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$이 $x$, $y$에 관한 두 일차식의 곱으로 나타내어질 때, 상수 $k$의 값을 구하여라. $x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$을 내림차순으로 정리하면 $x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$ 이제 위 $x$에 대한 식의 근을 구하면 여기에서 $(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$은 $x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2=0$에서의 판별식이니 $D=(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$라 하자. 그러면 즉, $x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$ 이고 만약 ${\sqrt D}$에서 루트가 없어지지 않는다면 위 식은 무리식이 된다. 따라서 ${\sqrt D}$ 는 루트가 없어지는 수 즉, $D$는 완전제곱수가 되..

$z^2 =15+8i$이고 $z$의 실수부분이 양수일 때, 다음을 구하여라. (1) $z$ (2) $z^3 -30z - {289 \over z}$ (1)번의 풀이 먼저 $z=a+bi$ ($a>0$, $a$, $b$는 실수)라고 하면 $z^2 =a^2 -b^2 +2abi$ 에서 $a^2 -b^2 =15$, $ab=4$ $b= {4 \over a}$를 $a^2 -b^2 =15$에 대입하면 $a^2 - {16 \over a^2} =15$, $a^4 -15a^2 -16=0$ $(a^2 -16)(a^2 +1)=0$ 그런데 $a$는 양의실수이므로 $a^2 =16$에서 $a=4$ 또, $b=1$ 따라서 $z=4+i$ (2)번의 풀이 $z^2 =15+8i$ 에서 $z^2 -15=8i$ 양변을 제곱하면 $z^4 -30z..

$z$ 가 실수가 아닌 복소수이고, $z+ {1 \over z}$이 실수일 때, $z \bar z$ 의 값을 구하여라. 위 문제를 풀기위해서는 다음의 정리들을 알고 사용할 수 있어야 한다. 먼저, "실수의 켤레복소수는 그 실수"이다. 예를 들어 ${\bar3} =3$ 이다. 따라서 위의 정리 ②을 사용하여 양변에 $z \bar z$를 곱하면 만약 $ {\bar z} -z=0$ 즉, $ {\bar z}=z$ 이면 “실수의 켤레복소수는 그 실수”에서 $z$ 는 실수이어야 하므로 모순이다. 따라서 $z {\bar z}-1=0$, $z {\bar z}=1$ 이다. 아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

이차식 $P(x)$ 에 대하여 ${P(1) \over 30} = {P(2) \over 15} = {P(3) \over 10} = {1 \over 3}$ 이 성립할 때, $P(x)$ 를 $x-6$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. 이 문제를 보면 대개의 사람들은 이렇게 풀려고 한다. $P(x)=ax^2 +bx+c$ $P(1)=10$ , $P(2)=5$ , $P(3)= {10 \over 3}$ 그런데 위를 정리하여 식을 세우면 풀수는 있으나 그 과정이 너무 복잡하다. 그러면 이렇게 생각을 해보자. 양변에 $30$ 을 곱한다. $P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$ $P(1)-10=0$ , $2P(2)-10=0$ , $3P(3)-10=0$ 그러면, $xP(x)-10=0$ 이란 방..

다항식 $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이다. 또 $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이다. (1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지를 구하여라. (2) $f(x)$ 를 $x^2 -8x+15$ 로 나눈 나머지를 구하여라. 주어진 조건 ① $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이면 $f(x)=(x-5)g(x)+1$이고, $f(5)=1$ ② $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이면 $g(x)=(x-3)Q(x)+2$ 이고, $g(3)=2$ 구할 것 (1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지 $f(x)=(x-3)A(x)+R$ 에서 $R$ 즉, $R=f(3)$ (2) $f(x)$ 를 $..

다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$ 이고, $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ 이다. 이때, $f(x)$ 를 $(x-1)^2 (x-3)$ 으로 나눈 나머지를 구하여라. 조건은 두 가지이고, ① 다항식 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ ② 다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$ 우리가 구할 것은 $f(x)$ 를 $(x-1)^2 (x-3)$ 으로 나눈 나머지이다. 즉, $f(x)=(x-1)^2 (x-3)Q(x) +ax^2 +bx+c$ 에서 $ax^2 +bx+c$ 이다. ① 다항식 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ 에서 $f(x)=(x-3)A(x)+7$ 이므로 $f(3)=7$ ② 다항식 $f(x)$..

다항식 $f(x)=4x^3 - 5x^2 -7x+4$ 이 있다. $f(1.99)$ 의 값을 구하여라. 위 문제를 보면 일단 대입이 생각난다. 그러면 대입하여보자. $f(1.99)=4(1.99)^3 -5(1.99)^2 -7(1.99) +4$ 계산을 하려니 일단 짜증부터 나고 계산기를 쓰고 싶다. 하지만 시험장에서 계산기 사용을 허락할 리가 없다. 아래 우리나라 수학자의 방법을 이용하여보자 이 문제를 비교적 편하게 풀기 위해서는 다음과 같은 식의 변형히 필요하다. $f(x)=a(x-2)^3 +b(x-2)^2 +c(x-2) +d$ $x-2$ 에 대한 내림차순정리라고 하는데 먼저, $f(x)=(x-2)\{a(x-2)^2 +b(x-2) +c \}+d$ 로 생각하면 $f(x)$ 를 $x-2$ 로 나누었을 때, $a(..