이차식 $P(x)$ 에 대하여 ${P(1) \over 30} = {P(2) \over 15} = {P(3) \over 10} = {1 \over 3}$ 이 성립할 때,
$P(x)$ 를 $x-6$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
이 문제를 보면 대개의 사람들은 이렇게 풀려고 한다.
$P(x)=ax^2 +bx+c$
$P(1)=10$ , $P(2)=5$ , $P(3)= {10 \over 3}$
그런데 위를 정리하여 식을 세우면 풀수는 있으나
그 과정이 너무 복잡하다.
그러면 이렇게 생각을 해보자.
양변에 $30$ 을 곱한다.
$P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$
$P(1)-10=0$ , $2P(2)-10=0$ , $3P(3)-10=0$
그러면, $xP(x)-10=0$ 이란 방정식이 있고,
이식은 삼차식이니 분명 최대 $3$개의 해가 존재하고,
그 해가 $x=1$, $2$, $3$ 이라고 생각할 수 있다.
따라서 $xP(x)-10=a(x-1)(x-2)(x-3)$
양변에 $x=0$ 을 대입하면
$-10=-6a$ , $a= {5 \over3}$
따라서 $xP(x)-10= {5 \over 3}(x-1)(x-2)(x-3)$
양변에 $x=6$ 을 대입하면
$6P(6)-10= {5 \over3} \times5 \times4 \times3$, $6P(6)-10=100$
따라서 $P(6)= {55 \over 3}$
이문제의 핵심은 일관된 규칙을 찾는 것이다.
$P(1)=10$, $P(2)=5$, $P(3)= {10 \over 3 }$ 이 아니고
$P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$
이렇게 생각 할 수 있어야 한다.
아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.