수학/수상

나머지정리와 방정식

라이프니츠 1050 2021. 3. 8. 15:33

 

이차식 $P(x)$ 에 대하여 ${P(1) \over 30} = {P(2) \over 15} = {P(3) \over 10} = {1 \over 3}$ 이 성립할 때,

$P(x)$ 를 $x-6$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

 

이 문제를 보면 대개의 사람들은 이렇게 풀려고 한다.

$P(x)=ax^2 +bx+c$

$P(1)=10$ , $P(2)=5$ , $P(3)= {10 \over 3}$

그런데 위를 정리하여 식을 세우면 풀수는 있으나

그 과정이 너무 복잡하다.

 

그러면 이렇게 생각을 해보자.

양변에 $30$ 을 곱한다.

$P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$

$P(1)-10=0$ , $2P(2)-10=0$ , $3P(3)-10=0$

 

그러면, $xP(x)-10=0$ 이란 방정식이 있고,

이식은 삼차식이니 분명 최대 $3$개의 해가 존재하고,

그 해가 $x=1$, $2$, $3$ 이라고 생각할 수 있다.

 

따라서 $xP(x)-10=a(x-1)(x-2)(x-3)$

 

양변에 $x=0$ 을 대입하면

$-10=-6a$ , $a= {5 \over3}$

 

따라서 $xP(x)-10= {5 \over 3}(x-1)(x-2)(x-3)$

 

양변에 $x=6$ 을 대입하면

$6P(6)-10= {5 \over3} \times5 \times4 \times3$, $6P(6)-10=100$

따라서 $P(6)= {55 \over 3}$

 

이문제의 핵심은 일관된 규칙을 찾는 것이다.

$P(1)=10$, $P(2)=5$, $P(3)= {10 \over 3 }$  이 아니고

$P(1)=10$ , $2P(2)=10$ , $3P(3)=10$

이렇게 생각 할 수 있어야 한다.

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

4.나머지정리와 방정식-연습문제.pdf
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