이차방정식

 

다항식 $x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$이

$x$, $y$에 관한 두 일차식의 곱으로 나타내어질 때,

상수 $k$의 값을 구하여라.

 

$x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$을 내림차순으로 정리하면

$x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$

 

이제 위 $x$에 대한 식의 근을 구하면

 

여기에서 $(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$은

$x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2=0$에서의 판별식이니

$D=(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$라 하자.

 

그러면

즉,

$x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$

이고

 

만약 ${\sqrt D}$에서 루트가 없어지지 않는다면

위 식은 무리식이 된다.

 

따라서 ${\sqrt D}$ 는 루트가 없어지는 수

즉, $D$는 완전제곱수가 되어야 한다.

$D=(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)$가 완전제곱수이면

$(2y+1)^2 -4(-ky^2 -5y-2)=(4k+4)y^2 +24y+9$에서

판별식$=(12)^2 -(4k+4) \times 9=0$, $16-(4k+4)=0$

따라서 $k=3$

 

이 문제의 풀이법은 판별식이 완전제곱식이다.

 

<다른풀이>

$x^2 +2xk-ky^2 +x-5y-2$

$=x^2 +(2y+1)x-ky^2 -5y -2$에서

인수분해를 생각하자.

 

 

따라서 $k=3$

 

충분히 연습하면 <다른풀이>의 방법이 훨씬 쉽지만

$k$의 값이 두 개가 나오는 문제는

“판별식이 완전제곱식”의 방법이 더 간편하기 때문에

두 가지 방법을 모두 익히기 바란다.

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

7.이차방정식-연습문제.pdf

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