나머지정리1

 

다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$ 이고, $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ 이다.

이때, $f(x)$ 를 $(x-1)^2 (x-3)$ 으로 나눈 나머지를 구하여라.

 

조건은 두 가지이고,

① 다항식 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$

② 다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$

 

우리가 구할 것은 $f(x)$ 를 $(x-1)^2 (x-3)$ 으로 나눈 나머지이다.

즉, $f(x)=(x-1)^2 (x-3)Q(x) +ax^2 +bx+c$ 에서 $ax^2 +bx+c$ 이다.

 

① 다항식 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $7$ 에서

$f(x)=(x-3)A(x)+7$ 이므로 $f(3)=7$

 

② 다항식 $f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나눈 나머지는 $2x-3$ 에서

$f(x)=(x-1)^2 B(x) +2x-3$

 

$f(x)=(x-1)^2 (x-3)Q(x) +ax^2 +bx+c$ 에서

 

$f(x)=(x-1)^2 \{ (x-3)Q(x) \} +ax^2 +bx+c$ 로 생각을 하면

 

$f(x)$ 를 $(x-1)^2$ 으로 나누었을 때,

몫은 $(x-3)Q(x)$ 이고 나머지는 $ax^2 +bx+c$ 로 본다는 것인데,

여기에서 모순이 생긴다.

$(x-1)^2$ 으로 나누면 반드시 나머지는 일차 이하의 식

즉, $2x-3$ 이 나와야하는데

나머지가 $ax^2 +bx+c$ 로 이차식이다.

 

지금의 상황을 정리하여보자.

 

 

이렇게 되어있으면 나눗셈이 더 되어야 함을 알 수 있다.

 

 

 

나머지에 주목하자.

$f(x)$를 $(x-1)^2 =x^2 -2x+1$로 나누면 반드시 나머지는 $2x-3$ 이어야 한다.

 

그러면 이렇게 생각할 수 있다.

 

 

따라서 $ax^2 +bx+c=a(x-1)^2 +2x-3$ 이다.

 

이제 한 번에 써보면

$f(x)=(x-1)^2 \{ (x-3)Q(x) \} +ax^2 +bx+c$

$f(x)=(x-1)^2 \{ (x-3)Q(x) \} +a(x-1)^2 +2x-3$

 

$f(3)=7$ 이므로

$x=3$ 을 양변에 대입하면

$f(3)=4a+3$, $4a+3=7$, $a=1$

 

따라서 나머지는 $(x-1)^2 +2x-3=x^2 -2$ 이다.

 

이 문제에서 핵심은

$f(x)=(x-1)^2 (x-3)Q(x) +ax^2 +bx+c$

$f(x)=(x-1)^2 (x-3)Q(x) +a(x-1)^2 +2x-3$

 

이런 변환이 한 번에 되어야 한다.

할 수 있도록 충분히 연습하자.

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기바란다.

 

나머지정리1-연습문제.pdf

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