나머지정리2

 

다항식 $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이다.

또 $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이다.

(1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지를 구하여라.

(2) $f(x)$ 를 $x^2 -8x+15$ 로 나눈 나머지를 구하여라.

 

주어진 조건

① $f(x)$ 를 $x-5$ 로 나눈 몫은 $g(x)$, 나머지는 $1$ 이면

$f(x)=(x-5)g(x)+1$이고, $f(5)=1$

② $g(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 이면

$g(x)=(x-3)Q(x)+2$ 이고, $g(3)=2$

 

구할 것

(1) $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지

$f(x)=(x-3)A(x)+R$ 에서 $R$  즉, $R=f(3)$

 

(2) $f(x)$ 를 $x^2 -8x+15$ 로 나눈 나머지

$f(x)=(x^2 -8x+15)B(x)+ax+b$ 에서 $ax+b$

 

(1)번 풀이

$f(x)=(x-5)g(x)+1$ 이고, $g(x)=(x-3)Q(x)+2$ 이면

$f(x)=(x-5) \{ (x-3)Q(x) +2 \} +1$ 으로 볼 수 있으니

따라서 $f(3)=(-2)(2)+1=-3$ , $R=-3$

 

또, 이렇게도 풀 수 있겠다.

$f(x)=(x-5)g(x)+1$ 이고 $g(x)=(x-3)Q(x)+2$ 이면

$f(3)=(-2)g(3)+1=(-2)(2)+1=-3$

 

(2)번 풀이

$f(x)=(x^2 -8x+15)B(x)+ax+b$

$f(x)=(x-3)(x-5)B(x)+ax+b$ 이고,

 

$f(5)=1$ 이므로 $f(5)=5a+b=1$

$f(3)=-3$ 이므로 $f(3)=3a+b=-3$

연립하면 $a=2$ , $b=-9$

나머지는 $2x-9$

 

몫과 나머지를 식으로 정리하는 과정이 숙달되어야 하겠다.

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

3.나머지정리2-연습문제.pdf

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