9.지수함수와 로그함수(2)
[2019년 6월 교육청 고2(나형) 30번]
두 양수 $a$, $k$ ($k \not=1$)에 대하여 함수
$f(x)=\begin{cases}2\log_{k}{(x-k+1)+2^{-a}} & (x \ge k)\\{}\\2\log_{\frac{1}{k}}{(-x+k+1)+2^{-a}} & (x < k)\end{cases}$
가 있다. $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때,
방정식 $f(x)=g(x)$의 해는 $- {3\over 4}$, $t$, $5 \over4$이다.
$30(a+k+t)$의 값을 구하시오. (단, $0<t<1$) [4점]
[풀 이]
먼저 $k$의 값을 생각해보자.
$x \ge k$일 때의 점근선의 방정식은 $x=k-1$
$x<k$일 때의 점근선의 방정식은 $x=k+1$
또, $a>0$이므로 $2^{-a} <1$
따라서 $0<2^{-a} <1$
① $k>1$이면 $0<2^{-a}<1<k$
$y=2\log_{k}{(x-k+1)+2^{-a}}$$~ (x \ge k)$ 는
위와 같은 모양이고,
$y=2\log_{\frac{1}{k}}{(-x+k+1)+2^{-a}}$$~(x < k)$ 는
위와 같으므로
$y=f(x)$의 그래프는 아래와 같다.
$f(x)=g(x)$의 근은
$f(x)$와 그 역함수 $g(x)$와의 교점의 $x$좌표와 같고
또, $f(x)$와 $y=x$와의 교점의 $x$좌표와 같다.
따라서
그런데 $1<k<t$이므로 모순이다. ( $\because$ $0<t<1$ )
② $0<k<1$이면
$y=f(x)$의 그래프는 아래와 같고,
$f(x)=g(x)$의 해가
$y=f(x)$와 $y=x$의 교점이 아닌 경우
$f(x)=g(x)$
$f(r)=g(r)=p$라 하면
$f(r)=p$,
$g(r)=p$에서 $r=g^{-1} (p)$, $r=f(p)$
$f(r)=p$이면 $r=g(p)$
$g(r)=p$이면 $r=f(p)$
따라서 $f(p)=g(p)=r$
$\therefore$ $f(x)=g(x)$의 두 근이 $r$과 $p$
따라서
$f(x)=g(x)$의 해가
$y=f(x)$와 $y=x$의 교점이 아닌 경우는
반드시 그 근이 $2$개씩 쌍으로 생긴다.
또, $y=f(x)$가 $(r,~p)$를 지나면
다시 $(p,~r)$을 지나므로
두 점 $(r,~p)$, $(p,~r)$를 지나는 직선의 기울기는
${{p-r} \over {r-p}}=-1$이므로
결국
$f(x)=g(x)$의 해가
$y=f(x)$와 $y=x$의 교점이 아닌 경우는
반드시 그 근이 $2$개씩 쌍으로 생기고,
그 교점은 기울기가 $-1$인 직선과의 교점이다.
그런데 교점의 $x$좌표는 $-{3 \over4 },~t,~{5 \over4}$이다.
여기서 $0<t<1$이므로 $-{3 \over 4}<t<{5 \over 4}$인
세 개가 나와야 하므로
교점의 좌표는 $\left( -{3 \over 4},~{5 \over4} \right)$, $\left( {5 \over 4},~-{3 \over4} \right)$이고
나머지 한 점은 두 개의 쌍이 아니므로
$y=x$와의 교점 즉, $(t,~t)$이어야 한다.
$f \left( -{3 \over 4} \right) = {5 \over4}$, $f \left( {5 \over 4} \right) = -{3 \over4}$ 에서
$\frac{5}{4}=2\log_{\frac{1}{k}}{\left(\frac{3}{4}+k+1 \right)}+2^{-a}$
$-\frac{3}{4}=2\log_{k}{\left(\frac{5}{4}-k+1 \right)}+2^{-a}$
두 식을 빼면
$2=-2\log_{k}{\left(\frac{7}{4}+k\right)}-2\log_{k}{\left(\frac{9}{4}-k\right)}$
$-1=\log_{k}{\left(\frac{7}{4}+k\right)}+\log_{k}{\left(\frac{9}{4}-k\right)}$
$k^{-1}=\left(\frac{7}{4} +k \right) \left(\frac{9}{4} -k \right)$
정리하면
$16k^3 -8k^2 -63k+16=0$
인수분해가 쉽지않다.
짜증이 밀려온다.^^
하지만 다왔으므로 참고 해보자.
$k= {1 \over 4}$를 대입하면 위식은 성립하므로
조립제법으로 정리하면
$\left( k- { 1\over4} \right) (16k^2 -4k-64)=0$
$(4k-1)(4k^2 -k-16)=0$
$k= {1\over4}$ 또는 $k= {{1 \pm \sqrt{257}} \over 8}$
그런데 $0<k<1$이므로 $k= {1\over4}$
$f \left( -{3 \over 4} \right) = {5 \over4}$, $k= {1 \over 4}$이므로
$\frac{5}{4}=2\log_{4}\left({\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1} \right)+2^{-a}$, $\frac{5}{4}=2\log_{4}{2}+2^{-a}$
${5\over4}=1+2^{-a}$, ${1\over4}=2^{-a}$, $a=2$
$y=f(x)$는 $(k,~2^{-a})$를 지나는데
$k={1\over4}$, $a=2$이므로
$(k,~2^{-a})= \left( {1\over4},~{1\over4} \right)$
이 점은 $y=x$위의 점이므로
따라서 $t= {1\over4}$
$\therefore$ $30(a+k+t)=30 \left( 2+{1\over4}+{1\over4} \right)=75$
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