[물 음]
삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$사이에
$\log_{a+b}{c}+\log_{a-b}{c}=\log_{a+b}{(a^2 -c^2)}\times\log_{a-b}{c}$
가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? 단, $c\neq0$이다.
[설 명]
로그의 연산 문제를 풀때는 일단 밑을 맞춘 후 생각한다.
밑을 $10$으로 맞추자.
$\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a+b)}}+\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}=\frac{\log_{10}{(a^2 -c^2 )}}{\log_{10}{(a+b)}}\times\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}$
양변에 $\log_{10}{(a+b)}\times\log_{10}{(a-b)}$를 곱하면
$\log_{10}{c}\cdot\log_{10}{(a-b)}+\log_{10}{c}\cdot\log_{10}{(a+b)}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\log_{10}{(a^2 -c^2)}\cdot\log_{10}{c}$
$\log_{10}{c}\neq0$이므로 양변을 $\log_{10}{c}$로 나누면
$\log_{10}{(a-b)}+\log_{10}{(a+b)}=\log_{10}{(a^2 -c^2 )}$
$\log_{10}{(a-b)(a+b)}=\log_{10}{(a^2 -c^2 )}$
$(a-b)(a+b)=a^2 -c^2$
$a^2 -b^2 =a^2 -c^2$, $b^2 =c^2$
따라서 $b=c$인 직각삼각형이다.