[문제1] $2^x =3^{-y}$, $9^y = {\sqrt6}^z$일 때,
${1\over x}-{1 \over y}$을 $z$를 이용하여 나타내어라.
[문제2] 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $30^a =8$, $30^b =3$일 때, $10^{{2a+b} \over {1-b}}$의 값을 구하여라.
[문제1. 풀이]
먼저 $2^x =3^{-y}$와 $9^y = {\sqrt6}^z$를 연결하여야 한다.
$2^x =3^{-y}$ $\rightarrow$ $2^{-x} =3^{y}$ $\rightarrow$ $(2^{-x})^2 =(3^{y})^2$ $\rightarrow$ $4^{-x} =9^{y}$
따라서 $4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z}$
$4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z} =k$ 라 하면
$4^{-x} =k$, $9^y =k$, $6^{{1 \over 2} z} =k$
$4^{-x} =k$ 이면 $4^{-1} =k^{1 \over x}$
$9^y =k$ 이면 $9 =k^{1 \over y}$
두 식을 변변 나누면
$ {1 \over 4} \div 9 = k^{1 \over x} \div k^{1 \over y}$, $ {1 \over 36} = k^{{1 \over x} - {1 \over y}}$
$6^{{1 \over 2} z} =k$ $\rightarrow$ $6 =k^{2 \over z}$ $\rightarrow$ $6^{-2} = \left(k^{2 \over z} \right)^{-2}$
따라서 ${1 \over 36} =k^{- {4 \over z}}$
$\therefore$ $k^{{1 \over x}-{1 \over y}} = k^{-{ 4 \over z}}$, ${1 \over x} -{1 \over y} = - {4 \over z}$
[문제2. 풀이]
먼저 $10^{{2a+b} \over {1-b}}$에서
${\triangle}^{2a+b}$ 또는 ${\bigtriangledown}^{1 \over {1-b}}$ 의 꼴을 만들어 놓고 생각한다.
$30^a =8$ $\rightarrow$ $30^{2a} =8^2$, $30^b=3$
따라서 $30^{2a+b} =64 \times 3=192$
또 $30^b=3$ $\rightarrow$ $30^{-b}=3^{-1}$ $\rightarrow$ $30 \times 30^{-b}=30 \times {1 \over 3}$
따라서 $30^{1-b} =10$ $\rightarrow$ $30=10^{{1 \over 1-b}}$
자 이제 계획이 생겼다.
$10^{{2a+b} \over {1-b}}$$= \left( 10^{1 \over 1-b} \right)^{2a+b}$$=30^{2a+b} =192$
아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.