11.지수로그방정식

 

11.지수로그방정식

 

[물  음]

방정식  $9^{x}-2\cdot 3^{x+2} +k=0$이

서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 정수  $k$의 개수를 구하시오.

 

[설  명]

먼저  $3^x =t$로 치환하면

항상 $3^x >0$이므로  $t>0$

 

$9^{x}-2\cdot 3^{x+2} +k=0$이

서로 다른 두 양의 실근을 가지면

$x$의 값이  $0$보다 큰 두개라는 소리이다.

 

$3^x$에서  $x>0$이면  $3^x >1$,  $t>1$

 

따라서  $t$는  $1$보다 큰 두 개의 값을 가지므로

 

$9^{x}-2\cdot 3^{x+2} +k=0$

$(3^{x})^2-2\cdot 3^2 \cdot3^{x+2} +k=0$

 

$t^2 -18t+k=0$에서

$t$의 두 개의 값 즉, 두 근이 모두  $1$보다 크다.

 

그러면 이제부터는 근의 분리의 문제이다.

근의 분리를 자세히 알고 싶다면 아래에서 보고오자.

이차방정식과 이차함수4 - 근의분리

$f(t)=t^2 -18t+k$라 하고,

$t^2 -18t+k=0$의 두 근을  $\alpha$,  $\beta$라 할 때,

 

두 근이 모두  $1$보다 크면

①  ${D \over 4} >0$

②  $f(1)>0$

③  ${{\alpha +\beta } \over 2} >1$

 

풀어보자.

①  ${D \over 4}=81-k>0$,  $k<81$

②  $f(1)=1-18+k>0$,  $k>17$

③  ${{\alpha +\beta} \over 2}=9>1$  $\longrightarrow$  항상 성립

 

따라서  $17<k<81$

정수  $k$의 개수는  $81-17-1=63$개