12.지수로그방정식(2)

 

[2019년 6월 고2 가형 30]

$2\le k<500$인 자연수  $k$에 대하여

네 자연수  $a$,  $b$,  $c$,  $d$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a$,  $b$,  $c$,  $d$는  $2$이상  $k$이하이다. (나)  $a^{\frac{1}{b}}\times c^{\frac{1}{d}}=24^{\frac{1}{5}}$

모든 순서쌍  $(a,~b,~c,~d)$의 개수가  $59$가 되도록 하는 

$k$의 최댓값과 최솟값을 각각  $M$,  $m$이라 할 때, 

$M+m$의 값을 구하시오. [4점]

 

$a=c$인 경우

$a^{\frac{1}{b}}\times a^{\frac{1}{d}}=24^{\frac{1}{5}}$,  $a^{\frac{1}{b}+\frac{1}{d}}=24^{\frac{1}{5}}$

따라서  $a=c=24$,  ${1 \over b} +{1 \over d} = {1 \over 5}$

그러면  $(a,~b,~c,~d)$는

$(24,~6,~24,~30)$,  $(24,~10,~24,~10)$,  $(24,~30,~24,~6)$

이제  $3$개가 나왔고  $k$는  $2$이상  $30$이하이다.

 

[설  명]

$a\not= c$일 때,

 

$24^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{5}}\times12^{\frac{1}{5}}=3^{\frac{1}{5}}\times8^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{5}}\times6^{\frac{1}{5}}$인 경우  $6$가지

$24^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{10}}\times12^{\frac{1}{5}}=9^{\frac{1}{10}}\times8^{\frac{1}{5}}=16^{\frac{1}{10}}\times6^{\frac{1}{5}}$인 경우  $6 \times 2$가지

$24^{\frac{1}{5}}=8^{\frac{1}{15}}\times12^{\frac{1}{5}}=27^{\frac{1}{15}}\times8^{\frac{1}{5}}$인 경우  $4 \times 2$가지

$24^{\frac{1}{5}}=16^{\frac{1}{20}}\times12^{\frac{1}{5}}$인 경우  $2 \times 2$가지

$24^{\frac{1}{5}}=32^{\frac{1}{25}}\times12^{\frac{1}{5}}$인 경우  $2 \times 2$가지

 

여기까지  $37$가지 이고,  $k$는  $32$이하

 

 

자 이제  $k$를 조금씩 키우면서 만들어 보자.

 

$24^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{5}}\times12^{\frac{1}{5}}=3^{\frac{1}{5}}\times8^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{5}}\times6^{\frac{1}{5}}$인 경우  $6$가지

$24^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{10}}\times12^{\frac{1}{5}}=9^{\frac{1}{10}}\times8^{\frac{1}{5}}=16^{\frac{1}{10}}\times6^{\frac{1}{5}}$$=4^{1 \over5} \times 36^{1 \over 10}$$=64^{1 \over{15}} \times 6^{1 \over 5}$인 경우  $6 \times 2$$+4$$+4$가지

$24^{\frac{1}{5}}=8^{\frac{1}{15}}\times12^{\frac{1}{5}}=27^{\frac{1}{15}}\times8^{\frac{1}{5}}$인 경우  $4 \times 2$가지

$24^{\frac{1}{5}}=16^{\frac{1}{20}}\times12^{\frac{1}{5}}$인 경우  $2 \times 2$가지

$24^{\frac{1}{5}}=32^{\frac{1}{25}}\times12^{\frac{1}{5}}$$=64^{1 \over{30}} \times 12^{1 \over 5}$인 경우  $2 \times 2$$+4$가지

$(24^2)^{\frac{1}{5}}=18^{\frac{1}{10}}\times32^{\frac{1}{10}}=16^{\frac{1}{10}}\times36^{\frac{1}{10}}=12^{\frac{1}{10}}\times48^{\frac{1}{10}}$$=9^{1 \over{10}} \times 64^{1 \over 10}$$=8^{1 \over{10}} \times 72^{1 \over 10}$인 경우  $6$$+2$$+2$가지

 

빨간색으로 추가된 개수는 $4+6=10$가지로

총  $47$가지 이고,  $k$는  $48$이하

 

파란색으로 추가된 개수는 $4+4+2=10$가지로

총  $57$가지 이고,  $k$는  $64$이하

 

보라색으로 추가된 개수는 $2$가지로

총  $59$가지 이고,  $k$는  $72$이하

 

따라서  $k$의 최솟값  $72$

 

$24^{\frac{1}{5}}=81^{\frac{1}{20}}\times8^{\frac{1}{5}}$이 추가 되면 더 만들어지므로

$k$의 최댓값  $80$

 

따라서  $M+m=80+72=152$

 

 

구체적인 설명은 아래에 있으니 읽어보기 바란다.

 

 

$a^{\frac{1}{b}}\times c^{\frac{1}{d}}=24^{\frac{1}{5}}$에서

 

①  $a=c$이면

$a^{\frac{1}{b}}\times a^{\frac{1}{d}}=24^{\frac{1}{5}}$,  $a^{\frac{1}{b}+\frac{1}{d}}=24^{\frac{1}{5}}$

따라서  $a=c=24$,  ${1 \over b}+{1 \over d}={1 \over 5}$

${1 \over b}+{1 \over d}={1 \over 5}$,  $5d+5b=bd$, $bd-5b-5d=0$

$d(b-5)-5b=0$,  $d(b-5)-5(b-5)=25$

$(b-5)(d-5)=25$

 

따라서  $(b-5,~d-5)$의 순서쌍을 구하면

$(1,~25)$,  $(5,~5)$,  $(25,~1)$

 

따라서  $(b,~d)$는

$(6,~30)$,  $(10,~10)$,  $(30,~6)$

 

그러면  $(a,~b,~c,~d)$는

$(24,~6,~24,~30)$,  $(24,~10,~24,~10)$,  $(24,~30,~24,~6)$

이제  $3$개가 나왔고  $k$는  $2$이상  $30$이하이다.

 

 

②  $a \not =c$일 때,  $24^{\frac{1}{5}}=a^{\frac{1}{b}}\times c^{\frac{1}{d}}$이면

$24^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{5}}\times12^{\frac{1}{5}}=3^{\frac{1}{5}}\times8^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{5}}\times6^{\frac{1}{5}}$ 이렇게 한 세트

$(24^2)^{\frac{1}{10}}=2^{\frac{1}{10}}\times288^{\frac{1}{10}}=3^{\frac{1}{10}}\times192^{\frac{1}{10}}=4^{\frac{1}{10}}\times144^{\frac{1}{10}}$$=\cdots$ 이렇게 또 한 세트

$(24^3)^{1 \over 15} =\cdots$ 이렇게 또 한 세트

계속 만들 수 있다.

 

하지만 순서쌍의 개수는 $59$개 이므로 그렇게 많이 가지는 않을 것 같다.

 

먼저

$24^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{5}}\times12^{\frac{1}{5}}=3^{\frac{1}{5}}\times8^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{5}}\times6^{\frac{1}{5}}$의 순서쌍을 구하자.

 

$k$를 고려하여  $(a,~c)$의 순서쌍을 구하면

$(2,~12)$는  $(12,~2)$와 묶음으로 생긴다.

다른 경우도  $2$가지씩 생기므로

따라서  $6$가지

모두 구하면  $(2,~12)$,  $(12,~2)$,  $(3,~8)$,  $(8,~3)$,  $(4,~6)$,  $(6,~4)$

$(b,~d)=(5,~5)$

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6=9$이고,

$k$는 여전히  $30$이하

 

$k$를 여전히  $30$이하로 하면서  $a$,  $b$,  $c$,  $d$의 크기를 계속 늘려본다.

 

$24^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{10}}\times12^{\frac{1}{5}}=9^{\frac{1}{10}}\times8^{\frac{1}{5}}=16^{\frac{1}{10}}\times6^{\frac{1}{5}}$

$(a,~c)$는  $(4,~12)$,  $(9,~8)$,  $(16,~6)$에서

$a$와  $c$는 바뀔 수 있다.

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $6$개

$(b,~d)$는  $(10,~5)$,  $(5,~10)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${6 \times 2} =12$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12=21$이고,

$k$는 여전히  $30$이하

 

 

$24^{\frac{1}{5}}=8^{\frac{1}{15}}\times12^{\frac{1}{5}}=27^{\frac{1}{15}}\times8^{\frac{1}{5}}$

$(a,~c)$는  $(8,~12)$,  $(27,~8)$에서

$a$와  $c$는 바뀔 수 있다.

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $4$개

$(b,~d)$는  $(15,~5)$,  $(5,~15)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${4 \times 2} =8$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8=29$이고,

$k$는 여전히  $30$이하

 

$24^{\frac{1}{5}}=16^{\frac{1}{20}}\times12^{\frac{1}{5}}$

$(a,~c)$는  $(16,~12)$,  $(12,~16)$

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(20,~5)$,  $(5,~20)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${2 \times 2} =4$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4=33$이고,

$k$는 여전히  $30$이하

 

$24^{\frac{1}{5}}=32^{\frac{1}{25}}\times12^{\frac{1}{5}}$

$(a,~c)$는  $(32,~12)$,  $(12,~32)$

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(25,~5)$,  $(5,~25)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${2 \times 2} =4$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4=37$이고,

$k$는  $32$이하

 

$24^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{5}}\times36^{\frac{1}{10}}$

$(a,~c)$는  $(4,~36)$,  $(36,~4)$

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(5,~10)$,  $(10,~5)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${2 \times 2} =4$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4+4=41$이고,

$k$는  $36$이하

 

$(24^2)^{\frac{1}{5}}=18^{\frac{1}{10}}\times32^{\frac{1}{10}}=16^{\frac{1}{10}}\times36^{\frac{1}{10}}$

$(a,~c)$는  $(18,~32)$,  $(32,~18)$,  $(16,~36)$,  $(36,~16)$

$(a,~c)$의 개수는  $4$개

$(b,~d)$는  $(10,~10)$

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  $4$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4+4+4=45$이고,

$k$는  $36$이하

 

 

$(24^2)^{\frac{1}{5}}=12^{\frac{1}{10}}\times48^{\frac{1}{10}}$

$(a,~c)$는  $(12,~48)$,  $(48,~12)$

$(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(10,~10)$

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  $2$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4+4+4+2=47$이고,

$k$는  $48$이하

 

$24^{\frac{1}{5}}=64^{\frac{1}{15}}\times6^{\frac{1}{5}}$

$(a,~c)$는  $(64,~6)$,  $(6,~64)$

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(5,~15)$,  $(15,~5)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${2 \times 2} =4$개

 

$24^{\frac{1}{5}}=64^{\frac{1}{30}}\times12^{\frac{1}{5}}$

$(a,~c)$는  $(64,~12)$,  $(12,~64)$

따라서  $(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(5,~30)$,  $(30,~5)$

$(b,~d)$의 개수는  $2$개

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  ${2 \times 2} =4$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4+4+4+2+4+4=55$이고,

$k$는  $64$이하

 

$(24^2)^{\frac{1}{5}}=9^{\frac{1}{10}}\times64^{\frac{1}{10}}$

$(a,~c)$는  $(9,~64)$,  $(64,~9)$

$(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(10,~10)$

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  $2$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4+4+4+2+4+4+2=57$이고,

$k$는  $64$이하

 

$(24^2)^{\frac{1}{5}}=8^{\frac{1}{10}}\times72^{\frac{1}{10}}$

$(a,~c)$는  $(8,~72)$,  $(72,~8)$

$(a,~c)$의 개수는  $2$개

$(b,~d)$는  $(10,~10)$

 

따라서  $(a,~b,~c,~d)$는  $2$개

 

현재까지  $(a,~b,~c,~d)$의 개수는  $3+6+12+8+4+4+4+4+2+4+4+2+2=59$이고,

$k$는  $72$이하

 

따라서  $k$의 최솟값은  $72$이다.

 

다음 순서쌍은

$24^{\frac{1}{5}}=81^{\frac{1}{20}}\times8^{\frac{1}{5}}$로 만들어 지므로

따라서  $k$의 최댓값은  $80$이다.

 

따라서  $k$의 최솟값과 최댓값의 합 $M+m=72+80=152$