수학/수상

복소수2

라이프니츠 1050 2021. 3. 9. 15:05

 

$z^2 =15+8i$이고 $z$의 실수부분이 양수일 때, 다음을 구하여라.

(1) $z$

(2) $z^3 -30z - {289 \over z}$

 

(1)번의 풀이

먼저 $z=a+bi$ ($a>0$, $a$, $b$는 실수)라고 하면

$z^2 =a^2 -b^2 +2abi$ 에서

$a^2 -b^2 =15$,  $ab=4$

 

$b= {4 \over a}$를 $a^2 -b^2 =15$에 대입하면

$a^2 - {16 \over a^2} =15$,  $a^4 -15a^2 -16=0$

$(a^2 -16)(a^2 +1)=0$

 

그런데 $a$는 양의실수이므로

$a^2 =16$에서 $a=4$  ,  $b=1$

 

따라서 $z=4+i$

 

(2)번의 풀이

$z^2 =15+8i$ 에서  $z^2 -15=8i$

 

양변을 제곱하면

$z^4 -30z^2 +225=-64$,  $z^4 -30z^2 +289=0$

 

양변을 $z$로 나누면

$z^3 -30z+ {289 \over z}=0$

 

따라서

$z^3 -30z - {289 \over z} = - {578 \over z}$

$= {-578 \over 4+i} = {-578(4-i) \over 17} = -34(4-i)$

 

$\therefore  z^3 -30z - {289 \over z} =-136+34i$

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

6.복소수2-연습문제.pdf
0.02MB

 

 

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