$z^2 =15+8i$이고 $z$의 실수부분이 양수일 때, 다음을 구하여라.
(1) $z$
(2) $z^3 -30z - {289 \over z}$
(1)번의 풀이
먼저 $z=a+bi$ ($a>0$, $a$, $b$는 실수)라고 하면
$z^2 =a^2 -b^2 +2abi$ 에서
$a^2 -b^2 =15$, $ab=4$
$b= {4 \over a}$를 $a^2 -b^2 =15$에 대입하면
$a^2 - {16 \over a^2} =15$, $a^4 -15a^2 -16=0$
$(a^2 -16)(a^2 +1)=0$
그런데 $a$는 양의실수이므로
$a^2 =16$에서 $a=4$ 또, $b=1$
따라서 $z=4+i$
(2)번의 풀이
$z^2 =15+8i$ 에서 $z^2 -15=8i$
양변을 제곱하면
$z^4 -30z^2 +225=-64$, $z^4 -30z^2 +289=0$
양변을 $z$로 나누면
$z^3 -30z+ {289 \over z}=0$
따라서
$z^3 -30z - {289 \over z} = - {578 \over z}$
$= {-578 \over 4+i} = {-578(4-i) \over 17} = -34(4-i)$
$\therefore z^3 -30z - {289 \over z} =-136+34i$
아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.