두 다항식 $f(x)=x^2 +x+1$, $g(x)=ax^2 +bx+3$ (단, $a \not =0$ )가 있다.
방정식 $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$가 $g( \alpha^2 )=4 \alpha$, $g( \beta^2 )=4 \beta $를 만족할 때,
상수 $a$, $b$의 값을 구하여라.
$f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$이면
$x^2 +x+1=0$에서
$x^2 +x+1=(x- \alpha )(x- \beta )=0$이고
근과 계수의 관계에 의해
$ \alpha + \beta =-1$, $ \alpha \beta =1$
또, $ \alpha^2 + \alpha +1=0$, $ \beta^2 + \beta +1=0$
$g(x)=ax^2 +bx+3$
$g( \alpha^2 )=4 \alpha$에서
$ \alpha^2 =-\alpha-1$이므로 $g(- \alpha -1)=4 \alpha$
양변에 $ \alpha$대신 $ \alpha -1$을 넣으면
$g(- (\alpha -1) -1)=4 (\alpha -1)$
$g(- \alpha )=4 \alpha -4$
다시 양변에 $ \alpha$대신 $ -\alpha$을 넣으면
$g( \alpha )= -4 \alpha -4$, $g( \alpha )+4 \alpha +4=0$
$g( \beta^2 )=4 \beta $에서도 위와 같은 방법으로 정리하면
$g( \beta )= -4 \beta -4$, $g( \beta )+4 \beta +4=0$,
따라서
방정식 $g(x)+4x+4=0$의 두 근이 $ \alpha$, $ \beta$이다.
$ \therefore$ $g(x)+4x+4=p(x- \alpha)(x- \beta)$
$=p(x^2 +x+1)$
$g(x)=ax^2 +bx+3$를 위 식에 대입하면
$ax^2 +(b+4)x+7 =p(x^2 +x+1)$
$ \therefore$ $p=7$
따라서 $ax^2 +(b+4)x+7 =7(x^2 +x+1)$
$a=7$, $b=3$
아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.
'수학 > 수상' 카테고리의 다른 글
이차방정식과 이차함수2 (0) | 2021.03.12 |
---|---|
이차방정식과 이차함수 (0) | 2021.03.11 |
이차방정식 (2) | 2021.03.10 |
복소수2 (0) | 2021.03.09 |
복소수1 (2) | 2021.03.08 |