수학/수상

이차방정식2

라이프니츠 1050 2021. 3. 10. 19:20

 

두 다항식 $f(x)=x^2 +x+1$, $g(x)=ax^2 +bx+3$ (, $a \not =0$  )가 있다.

방정식 $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$가 $g( \alpha^2 )=4 \alpha$, $g( \beta^2 )=4 \beta $를 만족할 때,

상수 $a$, $b$의 값을 구하여라.

 

$f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$이면

$x^2 +x+1=0$에서

$x^2 +x+1=(x- \alpha )(x- \beta )=0$이고

근과 계수의 관계에 의해

$ \alpha + \beta =-1$, $ \alpha \beta =1$

, $ \alpha^2 + \alpha +1=0$,  $ \beta^2 + \beta +1=0$

 

$g(x)=ax^2 +bx+3$

$g( \alpha^2 )=4 \alpha$에서

$ \alpha^2 =-\alpha-1$이므로 $g(- \alpha -1)=4 \alpha$

 

양변에 $ \alpha$대신 $ \alpha -1$을 넣으면

$g(- (\alpha -1) -1)=4 (\alpha -1)$

$g(- \alpha )=4 \alpha -4$

 

다시 양변에 $ \alpha$대신 $ -\alpha$을 넣으면

$g( \alpha )= -4 \alpha -4$$g( \alpha )+4 \alpha +4=0$

 

$g( \beta^2 )=4 \beta $에서도 위와 같은 방법으로 정리하면

$g( \beta )= -4 \beta -4$ $g( \beta )+4 \beta +4=0$,

 

따라서

방정식 $g(x)+4x+4=0$의 두 근이 $ \alpha$, $ \beta$이다.

 

$ \therefore$ $g(x)+4x+4=p(x- \alpha)(x- \beta)$

                                     $=p(x^2 +x+1)$

$g(x)=ax^2 +bx+3$를 위 식에 대입하면

$ax^2 +(b+4)x+7 =p(x^2 +x+1)$

$ \therefore$ $p=7$

 

따라서 $ax^2 +(b+4)x+7 =7(x^2 +x+1)$

$a=7$, $b=3$

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

8.이차방정식2-연습문제.pdf
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