고차방정식 2

고차방정식 - 오메가

삼차방정식 $x^3 -1=0$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때, 다음을 $a \omega +b$(단, $a$, $b$는 실수)의 꼴로 나타내어라. $\omega$는 읽을 때, 오메가라고 읽는다. 학생들이 많이 어려워하는 오메가 문제이다. 이런 유형의 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구한다. $x^3 -1 =(x-1)(x^2 +x+1)=0$ $x-1=0$ 또는 $x^2 +x+1=0$ $x^2 +x+1=0$은 허근을 가지므로 그 근이 $\omega$ 또 $x^2 +x+1=0$ 은 계수가 모두 실수이므로 반드시 복소수의 켤레근을 가진다. 따라서 의 두 근은 $\omega$, ${\bar{\omega}}$ 이다. 따라서 $x^3 -1=0$의 세 근은 $x=1$, $\omega$, ${\bar{\omega}..

수학/수상 2021.03.15

고차방정식 - 상반방정식

다음 사차방정식을 풀어라. $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ 이렇게 계수가 대칭이 되는 방정식을 상반방정식이라 부른다. 상반방정식은 인수정리를 이용할 수가 없다. 상수항의 약수를 대입하여도 식의값이 $0$이 되는 수를 찾을 수가 없다. 이것은 방정식의 인수 중 유리수의 인수가 없기 때문이다. 이 방정식은 푸는 순서를 잘 기억하여 풀어야 한다. ① $x^2$으로 묶는다. ② 치환한다. 따라서 $x+ {1 \over x}$를 $A$로 치환하자. $x^2 (A^2 +8A+15)=0$ $x^2 (A+3)(A+5)=0$ ③ $x$를 하나씩 분배한다. $(x^2 +1+3x)(x^2 +1+5x)=0$ $(x^2+3x+1)(x^2 +5x+1)=0$ 따라서 ..

수학/수상 2021.03.15