수학 27

3.지수(3)

$2 \le n \le 100$인 자연수 $n$에 대하여 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이 되도록 하는 $n$의 개수를 구하시오. “$a$ 의 $n$제곱근이 $x$다.”의 명제를 식으로 표현하면 $n$제곱하여 $a$가 되는 수가 $x$이므로 $x^n =a$ $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이면 “어떤 자연수의 $n$제곱근이 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$ ”라고 할 수 있고, 이를 “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”와 대응을 시켜보면 $a$ : 어떤 자연수 $x$ : $\left( \sqrt[7]{3^3} \righ..

수학/수1 2021.03.18

2.지수(2)

방사성 물질의 양이 처음의 양의 $1 \over 2$로 줄어드는 데 걸리는 시간을 반감기라 하는데, 방사성 탄소 동위 원소 ${}^{14} C$의 반감기는 $5700$년이라고 한다. 어떤 생물체의 화석에 현재 함유되어 있는 ${}^{14} C$의 양이 $8g$일 때, $300$년 후 이 화석에 함유된 ${}^{14} C$의 양은 $2^k g$이다. 이때 유리수 $k$의 값을 구하여라. 매년 줄어드는 양은 비율 항상 같다고는 볼 수 없을 것이다. 어떤 주변 요소들에 의해 해년마다 다를 수밖에 없지만, 그렇게 심화적인 부분을 평가하는 문제는 고등과정에서 출제되지 않으므로 생각하지 않도록 하자. 따라서 처음 양을 $a$라 할 때, 매년 줄어드는 양의 비율은 $r$로 일정하다고 하면 $1$년후의 양은 $ar$,..

수학/수1 2021.03.18

1.지수

실수 $x$와 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $x$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 $f(n,~x)$라 할 때, 옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고르시오. 먼저 기본개념을 정리하자. “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”라고 하면 $n$제곱해서 $a$가 되는 수가 $x$라는 뜻이므로 $x^n =a$이다. $x^n =a$의 근의 개수는 일반적으로 $n$개이다. 그렇지만 $x^n =a$의 모든 근을 구할 수는 없으므로 대개의 경우 실근의 개수만 생각을 한다. 만약, $x^2 =3$이면 실근은 $x=\pm \sqrt3$으로 두 개 $x^4 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[4]{3} $으로 두 개 $x^6 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[6]{3} $ 으로 두 개 $\cdots..

수학/수1 2021.03.17

고차방정식 - 오메가

삼차방정식 $x^3 -1=0$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때, 다음을 $a \omega +b$(단, $a$, $b$는 실수)의 꼴로 나타내어라. $\omega$는 읽을 때, 오메가라고 읽는다. 학생들이 많이 어려워하는 오메가 문제이다. 이런 유형의 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구한다. $x^3 -1 =(x-1)(x^2 +x+1)=0$ $x-1=0$ 또는 $x^2 +x+1=0$ $x^2 +x+1=0$은 허근을 가지므로 그 근이 $\omega$ 또 $x^2 +x+1=0$ 은 계수가 모두 실수이므로 반드시 복소수의 켤레근을 가진다. 따라서 의 두 근은 $\omega$, ${\bar{\omega}}$ 이다. 따라서 $x^3 -1=0$의 세 근은 $x=1$, $\omega$, ${\bar{\omega}..

수학/수상 2021.03.15

고차방정식 - 상반방정식

다음 사차방정식을 풀어라. $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ 이렇게 계수가 대칭이 되는 방정식을 상반방정식이라 부른다. 상반방정식은 인수정리를 이용할 수가 없다. 상수항의 약수를 대입하여도 식의값이 $0$이 되는 수를 찾을 수가 없다. 이것은 방정식의 인수 중 유리수의 인수가 없기 때문이다. 이 방정식은 푸는 순서를 잘 기억하여 풀어야 한다. ① $x^2$으로 묶는다. ② 치환한다. 따라서 $x+ {1 \over x}$를 $A$로 치환하자. $x^2 (A^2 +8A+15)=0$ $x^2 (A+3)(A+5)=0$ ③ $x$를 하나씩 분배한다. $(x^2 +1+3x)(x^2 +1+5x)=0$ $(x^2+3x+1)(x^2 +5x+1)=0$ 따라서 ..

수학/수상 2021.03.15

이차방정식과 이차함수4 - 근의분리

$x$에 관한 이차방정식 $x^2 -2(m-4)x+2m=0$의 근이 다음 조건을 만족하도록 실수 $m$의 값의 범위를 정하여라. (1) 두 근이 모두 $3$보다 크다. (2) 두 근이 모두 $3$보다 작다. (3) $3$이 두 근 사이에 있다. (1)두 근이 모두 $3$보다 크면, $f(x)=x^2 -2(m-4)+2m$라 하자. ① 두 근을 가져야한다. → $D \ge 0$ 중근인 경우도 두 근이라고 생각해야한다. $x^2 -2(m-4)x+2m=0$의 두 근은 $f(x)=x^2 -2(m-4)+2m$의 두 $x$절편으로 생각 할 수 있다. 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\alpha + \beta =2(m-4)$ ② 두 근이 모두 $3$보다 크면 $f(x)$의 두 $x$절편이 모두 $3$..

수학 2021.03.14

이차방정식과 이차함수3

$0 \le x \le 2$에서 함수 $f(x)=-2x^2 -4kx -2k^2 +k+1$의 최댓값이 $0$이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하여라. 먼저 이차함수 $f(x)$를 정리하면 $f(x)=-2x^2 -4kx -2k^2 +k+1$ $~~~~~~~=-2(x^2 +2kx) -2k^2 +k+2$ $~~~~~~~=-2(x+k)^2 +k+2$ $f(x)$의 대칭축의 방정식은 $x=-k$이고 $f(x)$는 위로 볼록의 그래프이므로 대칭축과의 거리가 가까울수록 대응되는 $y$좌표가 높다. 따라서 최댓값이 달라지는 경우는 다음 세 가지로 생각 할 수 있다. 빨간색은 범위 $0 \le x \le 2$의 구간을 나타낸다. ① $-k \le 0$ $(k \ge 0)$ 인 경우 $x=-k$와 $x=0$사..

수학/수상 2021.03.12

이차방정식과 이차함수2

직선 $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점을 $A$, $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. 점 $P(a,~b)$가 점 $A$에서 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 점 $B$까지 움직일 때, $a^2 +8b+1$의 최댓값을 구하여라. 먼저 $A$, $B$의 좌표를 구하자. $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점은 $(0,~1)$ 따라서 $A(0,~1)$ $y= - {1 \over4 }x+1$이 $x$축과 만나는 점은 $(4,~0)$ 따라서 $B(4,~0)$ $P(a,~b)$는 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 움직이므로 직선 $y= - {1 \over4 }x+1$ 위의 점이다. 따라서 $b= - {1 \over4 }a+1..

수학/수상 2021.03.12

이차방정식2

두 다항식 $f(x)=x^2 +x+1$, $g(x)=ax^2 +bx+3$ (단, $a \not =0$ )가 있다. 방정식 $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$가 $g( \alpha^2 )=4 \alpha$, $g( \beta^2 )=4 \beta $를 만족할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 구하여라. $f(x)=0$의 두 근 $ \alpha$, $ \beta$이면 $x^2 +x+1=0$에서 $x^2 +x+1=(x- \alpha )(x- \beta )=0$이고 근과 계수의 관계에 의해 $ \alpha + \beta =-1$, $ \alpha \beta =1$ 또, $ \alpha^2 + \alpha +1=0$, $ \beta^2 + \beta +1=0$ $g(x)=ax^2 +bx+..

수학/수상 2021.03.10