수학에풍덩

[물 음] $100 \le x

[물 음] $a$, $b$는 같은 부호이고, $a^2 -2ab -9b^2=0$일 때, $\log{(a^2 +ab-6b^2)}-\log{(a^2 +4ab-3b^2)}$의 값을 구하여라. [설 명] $a^2 -2ab -9b^2=0$을 보면 뭔가 이차방정식 같으면서도 잘 정리가 되지 않는다. 이 문제의 핵심은 $a^2 -2ab -9b^2=0$을 이차방정식으로 바꾸는 것이다. 양변을 $b^2$으로 나누면 $\left(\frac{a}{b} \right)^2 -2\left(\frac{a}{b} \right) -9=0$ $\frac{a}{b}=t$로 치환하면 ‘$a$, $b$는 같은 부호’에서 $t>0$이고, $t^2 -2t-9=0$ 이제 이차방정식이 되었다.^^ 위 식에서 근의 공식으로 $t$를 구하자. $t=1 ..

[물 음] 삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$사이에 $\log_{a+b}{c}+\log_{a-b}{c}=\log_{a+b}{(a^2 -c^2)}\times\log_{a-b}{c}$ 가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? 단, $c\neq0$이다. [설 명] 로그의 연산 문제를 풀때는 일단 밑을 맞춘 후 생각한다. 밑을 $10$으로 맞추자. $\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a+b)}}+\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}=\frac{\log_{10}{(a^2 -c^2 )}}{\log_{10}{(a+b)}}\times\frac{\log_{10}{c}}{\log_{10}{(a-b)}}$ 양변에 $\log_{10}{(a+b)}\times..

[문제1] $2^x =3^{-y}$, $9^y = {\sqrt6}^z$일 때, ${1\over x}-{1 \over y}$을 $z$를 이용하여 나타내어라. [문제2] 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $30^a =8$, $30^b =3$일 때, $10^{{2a+b} \over {1-b}}$의 값을 구하여라. [문제1. 풀이] 먼저 $2^x =3^{-y}$와 $9^y = {\sqrt6}^z$를 연결하여야 한다. $2^x =3^{-y}$ $\rightarrow$ $2^{-x} =3^{y}$ $\rightarrow$ $(2^{-x})^2 =(3^{y})^2$ $\rightarrow$ $4^{-x} =9^{y}$ 따라서 $4^{-x} =9^y = 6^{{1 \over 2} z}$ $4^{-x} =9^y = 6^..

$2 \le n \le 100$인 자연수 $n$에 대하여 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이 되도록 하는 $n$의 개수를 구하시오. “$a$ 의 $n$제곱근이 $x$다.”의 명제를 식으로 표현하면 $n$제곱하여 $a$가 되는 수가 $x$이므로 $x^n =a$ $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$이 어떤 자연수의 $n$제곱근이면 “어떤 자연수의 $n$제곱근이 $\left( \sqrt[7]{3^3} \right)^{1 \over2 }$ ”라고 할 수 있고, 이를 “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”와 대응을 시켜보면 $a$ : 어떤 자연수 $x$ : $\left( \sqrt[7]{3^3} \righ..

방사성 물질의 양이 처음의 양의 $1 \over 2$로 줄어드는 데 걸리는 시간을 반감기라 하는데, 방사성 탄소 동위 원소 ${}^{14} C$의 반감기는 $5700$년이라고 한다. 어떤 생물체의 화석에 현재 함유되어 있는 ${}^{14} C$의 양이 $8g$일 때, $300$년 후 이 화석에 함유된 ${}^{14} C$의 양은 $2^k g$이다. 이때 유리수 $k$의 값을 구하여라. 매년 줄어드는 양은 비율 항상 같다고는 볼 수 없을 것이다. 어떤 주변 요소들에 의해 해년마다 다를 수밖에 없지만, 그렇게 심화적인 부분을 평가하는 문제는 고등과정에서 출제되지 않으므로 생각하지 않도록 하자. 따라서 처음 양을 $a$라 할 때, 매년 줄어드는 양의 비율은 $r$로 일정하다고 하면 $1$년후의 양은 $ar$,..

실수 $x$와 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $x$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 $f(n,~x)$라 할 때, 옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고르시오. 먼저 기본개념을 정리하자. “$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”라고 하면 $n$제곱해서 $a$가 되는 수가 $x$라는 뜻이므로 $x^n =a$이다. $x^n =a$의 근의 개수는 일반적으로 $n$개이다. 그렇지만 $x^n =a$의 모든 근을 구할 수는 없으므로 대개의 경우 실근의 개수만 생각을 한다. 만약, $x^2 =3$이면 실근은 $x=\pm \sqrt3$으로 두 개 $x^4 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[4]{3} $으로 두 개 $x^6 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[6]{3} $ 으로 두 개 $\cdots..

삼차방정식 $x^3 -1=0$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때, 다음을 $a \omega +b$(단, $a$, $b$는 실수)의 꼴로 나타내어라. $\omega$는 읽을 때, 오메가라고 읽는다. 학생들이 많이 어려워하는 오메가 문제이다. 이런 유형의 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구한다. $x^3 -1 =(x-1)(x^2 +x+1)=0$ $x-1=0$ 또는 $x^2 +x+1=0$ $x^2 +x+1=0$은 허근을 가지므로 그 근이 $\omega$ 또 $x^2 +x+1=0$ 은 계수가 모두 실수이므로 반드시 복소수의 켤레근을 가진다. 따라서 의 두 근은 $\omega$, ${\bar{\omega}}$ 이다. 따라서 $x^3 -1=0$의 세 근은 $x=1$, $\omega$, ${\bar{\omega}..

다음 사차방정식을 풀어라. $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ $x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$ 이렇게 계수가 대칭이 되는 방정식을 상반방정식이라 부른다. 상반방정식은 인수정리를 이용할 수가 없다. 상수항의 약수를 대입하여도 식의값이 $0$이 되는 수를 찾을 수가 없다. 이것은 방정식의 인수 중 유리수의 인수가 없기 때문이다. 이 방정식은 푸는 순서를 잘 기억하여 풀어야 한다. ① $x^2$으로 묶는다. ② 치환한다. 따라서 $x+ {1 \over x}$를 $A$로 치환하자. $x^2 (A^2 +8A+15)=0$ $x^2 (A+3)(A+5)=0$ ③ $x$를 하나씩 분배한다. $(x^2 +1+3x)(x^2 +1+5x)=0$ $(x^2+3x+1)(x^2 +5x+1)=0$ 따라서 ..

어머니는 단순한 가족의 일원이 아닙니다. 한 가정의 해님과 같습니다. 해님이 없으면 우주 만물이 다 빛을 잃듯이 어머니의 존재는 그러합니다. 그것은 어머니의 사랑 때문입니다. 어머니의 미소 속에 신비가 있는 까닭은 바로 어머니의 사랑 속에 희생이 있는 까닭입니다. -정호승의 중에서... 곱디곱던 어머니의손 이제는 주름만 남았네요 무심한 세월이여라..