실수 $x$와 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여
$x$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 $f(n,~x)$라 할 때,
옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고르시오.
먼저 기본개념을 정리하자.
“$a$의 $n$제곱근이 $x$다.”라고 하면
$n$제곱해서 $a$가 되는 수가 $x$라는 뜻이므로 $x^n =a$이다.
$x^n =a$의 근의 개수는 일반적으로 $n$개이다.
그렇지만 $x^n =a$의 모든 근을 구할 수는 없으므로
대개의 경우 실근의 개수만 생각을 한다.
만약,
$x^2 =3$이면 실근은 $x=\pm \sqrt3$으로 두 개
$x^4 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[4]{3} $으로 두 개
$x^6 =3$이면 실근은 $x= \pm \sqrt[6]{3} $ 으로 두 개
$\cdots$
$x^2 =0$이면 실근은 $x=0$으로 한 개
$x^4 =0$이면 실근은 $x=0$으로 한 개
$\cdots$
$x^2 =-3$이면 근은 $x= \pm \sqrt{-3}$으로 실근은 $0$개
따라서
$x^n =a$에서 $n$이 짝수 일 때,
$a>0$이면 실근 $2$개
$a=0$이면 실근 $1$개
$a<0$이면 실근 $0$개
또
$x^3 =3$이면 실근은 $x= \sqrt[3]3$으로 한 개
$x^5 =3$이면 실근은 $x= \sqrt[5]{3} $으로 한 개
$x^5 =0$이면 실근은 $x= 0$ 으로 한 개
$x^7 =-3$이면 실근은
$x= \sqrt[7]{-3} = \sqrt[7]{-1} \times \sqrt[7]{3} =- \sqrt[7]{3}$으로 한 개
$\cdots$
따라서
$x^n =a$에서 $n$이 홀수 일 때,
$a>0$, $a=0$, $a<0$ 관계없이
실근의 개수는 무조건 $1$개
정리하면 $x^n =a$의 실근의 개수는
자 이제 본 문제에 들어가서
$x$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것의 개수가 $f(n,~x)$
$x$의 $n$제곱근을 $p$라고 하면
$n$제곱해서 $x$가 되는 수가 $p$이므로 $p^n =x$
$p$의 값 중에서 실수인 것의 개수가 $f(n,~x)$
따라서
ㄱ. 실수 $a$에 대하여 $f(5,~a)=f(5,~a^2 )$이다.
$n=5$, $n$은 홀수이므로
$f(5,~a)=f(5,~a^2 )=1$ $\therefore$참
ㄴ. $2$이상의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a<b$이면 $f(a,~4) \le f(b,~4)$이다.
$a$가 짝수, $b$가 홀수 이면 $f(a,~4)=2,~f(b,~4)=1$
따라서 $f(a,~4) \le f(b,~4)$ $\therefore$ 거짓
ㄷ. $2$이상의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f(a,~b) \not= f(b,~a)$이면
$~~~~f(a+b,~ab)<f(ab,~a+b)$이다.
① $a$가 홀수, $b$가 홀수 이면 $f(a,~b)=f(b,~a)=1$
② $a$가 홀수, $b$가 짝수 이면 $f(a,~b)=1,~f(b,~a)=2$
③ $a$가 짝수, $b$가 홀수 이면 $f(a,~b)=2,~f(b,~a)=1$
④ $a$가 짝수, $b$가 짝수 이면 $f(a,~b)=f(b,~a)=2$
따라서
$f(a,~b) \not= f(b,~a)$이면
$a$, $b$중 하나는 홀수고, 하나는 짝수이다.
그러면 $a+b=$홀수, $ab=$짝수
따라서 $b$에 관계없이 $f(a+b,~ab)=1$
또, $b>0$이므로 $f(ab,~a+b)=2$
따라서 $f(a+b,~ab)<f(ab,~a+b)$ $\therefore$ 참
아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.