고차방정식 - 오메가

 

삼차방정식 $x^3 -1=0$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때,

다음을 $a \omega +b$(단, $a$, $b$는 실수)의 꼴로 나타내어라.

 

 

$\omega$는 읽을 때, 오메가라고 읽는다.

학생들이 많이 어려워하는 오메가 문제이다.

 

이런 유형의 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구한다.

$x^3 -1 =(x-1)(x^2 +x+1)=0$

$x-1=0$  또는  $x^2 +x+1=0$

 

$x^2 +x+1=0$은 허근을 가지므로 그 근이 $\omega$

또 $x^2 +x+1=0$ 은 계수가 모두 실수이므로

반드시 복소수의 켤레근을 가진다.

따라서 의 두 근은 $\omega$,  ${\bar{\omega}}$  이다.

 

따라서  $x^3 -1=0$의 세 근은

$x=1$,  $\omega$,  ${\bar{\omega}}$이다.

 

$x^3 -1=0$의 근이 $x=1$,  $\omega$,  ${\bar{\omega}}$이므로

① $\omega ^3 =1$

② ${\bar {\omega}} ^3 =1$

 

$x^2 +x+1=0$의 두 근은  $\omega$,  ${\bar{\omega}}$

③ $\omega^2 + \omega +1=0$

④ ${\bar{\omega}}^2 +{\bar{\omega}} +1=0$

⑤ $\omega + {\bar{\omega}} =-1$

⑥ $\omega {\bar{\omega}}=1$

 

(1) $\omega -2 \omega^2 +3 \omega^3 -4 \omega^4 + \cdots + 2021 \omega^{2021}$

$\omega ^3 =1$이므로

$\omega = \omega^4 = \omega^7 = \cdots$

$\omega^2 = \omega^5 = \omega^8 = \cdots$

$\omega^3 = \omega^6 = \omega^9 = \cdots$

순환마디가 $3$개이다.

 

순환마디가 $3$개라고 가정하고

$3$개씩 나열해보자.

① $\omega -2 \omega^2 +3 \omega^3 = \omega -2 \omega^2 +3$

② $-4 \omega^4 +5 \omega^5 -6 \omega^6 = -4 \omega + 5 \omega^2 -6$

같지않다.

 

그러면 순환마디가 $6$개라고 가정하고

$6$개씩 나열해보자.

① $\omega -2 \omega^2 +3 \omega^3 -4 \omega^4 +5 \omega^5 -6 \omega^6$

$=\omega -2 \omega^2 +3  -4 \omega +5 \omega^2 -6 $

$=-3\omega +3 \omega^2 -3 =3( \omega^2 - \omega -1)$

$=3(- \omega -1- \omega -1)=-6( \omega +1)$

$( \because ~ \omega^2 +\omega +1=0$,  $ \omega^2 =- \omega -1)$

 

② $7\omega^7 -8 \omega^8 +9 \omega^9 -10 \omega^{10} +11 \omega^{11} -12 \omega^{12}$

$=7\omega -8 \omega^2 +9  -10 \omega +11 \omega^2 -12 $

$=-3\omega +3 \omega^2 -3 =3( \omega^2 - \omega -1)$

$=3(- \omega -1- \omega -1)=-6( \omega +1)$

 

 

$\omega -2 \omega^2 +3 \omega^3 -4 \omega^4 +5 \omega^5 -6 \omega^6$

$=7\omega^7 -8 \omega^8 +9 \omega^9 -10 \omega^{10} +11 \omega^{11} -12 \omega^{12}$

$=-6( \omega +1)$

 

따라서 순환마디는 $6$개이다.

사실 $\omega$는 순환마디가 $3$개이고,

$1$,  $-1$은 순환마디가 $2$개이므로

전체적으로 순환마디는 $6$개일 수 밖에 없다.

 

$2021=336 \times 6+5$

 

$\omega -2 \omega^2 +3 \omega^3 -4 \omega^4 + \cdots + 2021 \omega^{2021}$

$=-6( \omega +1) \times 336$

$~~~~~~~~~~+ 2017\omega^{2017} -2018 \omega^{2018}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2019 \omega^{2019} -2020 \omega^{2020} +2021 \omega^{2021}$

$=-2016( \omega +1)$

$~~~~~~~~+ 2017\omega -2018 \omega^2 +2019  -2020 \omega +2021 \omega^2$

$=-2016( \omega +1)$$-3\omega +3 (-\omega -1)+2019$

$=-2016( \omega +1)$$-6\omega +2016$

$=-2022 \omega$

 

 

 

$\omega ^3 =1$이므로

$\omega = \omega^4 = \omega^7 = \cdots$

$\omega^2 = \omega^5 = \omega^8 = \cdots$

$\omega^3 = \omega^6 = \omega^9 = \cdots$

 

${\bar{\omega}} ^3 =1$이므로

${\bar{\omega}} = {\bar{\omega}}^4 = {\bar{\omega}}^7 = \cdots$

${\bar{\omega}}^2 = {\bar{\omega}}^5 = {\bar{\omega}}^8 = \cdots$

${\bar{\omega}}^3 = {\bar{\omega}}^6 = {\bar{\omega}}^9 = \cdots$

 

순환마디가 $3$개이다.

 

순환마디가 $3$개라고 가정하고

$3$개씩 나열해보자.

 

같지않다.

 

그러면 순환마디가 $6$개라고 가정하고

$6$개씩 나열해보자.

 

따라서 순환마디는 $6$개이다.

 

$2021=336 \times 6 +5$

 

 

 

 

오메가 문제는 항상 $6$가지를 먼저 구하고 푼다.

$x^3 -1=0$의 한 허근이 $\omega$이면

① $\omega ^3 =1$

② ${\bar {\omega}} ^3 =1$

③ $\omega^2 + \omega +1=0$

④ ${\bar{\omega}}^2 +{\bar{\omega}} +1=0$

⑤ $\omega + {\bar{\omega}} =-1$

⑥ $\omega {\bar{\omega}}=1$

 

하지만 위의 $6$가지를 외워서 풀면 안된다.

주어진 식에 따라 계속 바뀐다.

예를들어

$x^3 -8=0$의 한 허근이 $\omega$이면

① $\omega ^3 =8$

② ${\bar {\omega}} ^3 =8$

 

$x^3 -8 =(x-2)(x^2 +2x+4)=0$

③ $\omega^2 + 2\omega +4=0$

④ ${\bar{\omega}}^2 +2{\bar{\omega}} +4=0$

⑤ $\omega + {\bar{\omega}} =-2$

⑥ $\omega {\bar{\omega}}=4$

 

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

14.고차방정식2-연습문제.pdf

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