수학/수상

고차방정식 - 상반방정식

라이프니츠 1050 2021. 3. 15. 14:55

 

다음 사차방정식을 풀어라.

$x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$

 

$x^4 +8x^3 +17x^2 +8x+1=0$

이렇게 계수가 대칭이 되는 방정식을

상반방정식이라 부른다.

 

상반방정식은 인수정리를 이용할 수가 없다.

상수항의 약수를 대입하여도

식의값이 $0$이 되는 수를 찾을 수가 없다.

이것은 방정식의 인수 중 유리수의 인수가 없기 때문이다.

 

이 방정식은 푸는 순서를 잘 기억하여 풀어야 한다.

 

① $x^2$으로 묶는다.

 

치환한다.

 

따라서 $x+ {1 \over x}$를 $A$로 치환하자.

$x^2 (A^2 +8A+15)=0$

$x^2 (A+3)(A+5)=0$

 

③ $x$를 하나씩 분배한다.

$(x^2 +1+3x)(x^2 +1+5x)=0$

$(x^2+3x+1)(x^2 +5x+1)=0$

 

따라서

$x^2 +3x+1=0$  또는  $x^2 +5x+1=0$에서

각각 근의공식을 쓰면


순서를 기억하자.

① $x^2$으로 묶고

② 치환

③ $x$를 하나씩 주기

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

13.고차방정식-연습문제.pdf
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