수학/수상

이차방정식과 이차함수2

라이프니츠 1050 2021. 3. 12. 13:36


직선 $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점을 $A$,

$x$축과 만나는 점을 $B$라 하자.

점 $P(a,~b)$가 점 $A$에서 직선  $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라

점 $B$까지 움직일 때,

$a^2 +8b+1$의 최댓값을 구하여라.

 

먼저 $A$, $B$의 좌표를 구하자.

 $y= - {1 \over4 }x+1$이 $y$축과 만나는 점은 $(0,~1)$

따라서 $A(0,~1)$

 $y= - {1 \over4 }x+1$이 $x$축과 만나는 점은 $(4,~0)$

따라서 $B(4,~0)$

 

$P(a,~b)$는 직선  $y= - {1 \over4 }x+1$을 따라 움직이므로

직선  $y= - {1 \over4 }x+1$ 위의 점이다.

따라서  $b= - {1 \over4 }a+1$

 

또한 $P$는 $A$에서 $B$까지 움직이므로

 

 

따라서 $a$ 의 범위는 $0 \le a \le 4$

정리하면

 

이차함수 $a^2 -2a+9$  $(0 \le a \le 4)$ 은

 

위와 같은, 아래로 볼록의 그래프이다.

 

대칭축의 방정식이 $a=1$이므로

$a=1$에서 멀수록 대응되는 $y$좌표의 높이가 높다.

$a=1$과 $a=1$과의 거리는 $1$

$a=1$과 $a=1$과의 거리는 $3$

 

$ \therefore $ $a=4$일 때, $a^2 -2a+9=16-8+9=17$

최댓값 $17$을 갖는다.

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

10.이차방정식과 이차함수2-연습문제.pdf
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