이차방정식과 이차함수

 

이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해

$f(x) \le f(1)$이고 $f(-2)=0$일 때,

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

 

모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le f(1)$ 이면

$f(x)$는 $x=1$에서 최댓값을 갖는다.

따라서

$f(x)=a(x-1)^2 +p$  $(a<0)$이라 할 수 있다.

 

그래프로 나타내면 아래와 같다.

 

$f(-2)=0$이므로  $9a+p=0$, $p=-9a$

$f(x)=a(x-1)^2 -9a$  $(a<0)$

 

ㄱ. 대칭축의 방정식이 $x=1$이므로

그래프에서 관찰을 하면

 $x=1$에서  $x=-2$까지의 간격과

 $x=1$에서  $x=4$까지의 간격이 같다.

따라서 $f(-2)=f(4)$  $ \therefore $ $f(4)=0$

$ \therefore $ 참

 

ㄴ. 대칭축의 방정식이 $x=1$

$x=1$와 $x= {27 \over 8}$ 과의 거리는 $ 19 \over 8$

$x=1$와 $x=-1$과의 거리는 $ 16 \over 8$

$x=1$와 $x=2$과의 거리는 $ 8 \over 8$

 

$f(x)$의 그래프에서 관찰을 하면

 

대칭축과의 거리가 가까울수록

대응되는 $y$좌표가 높다.

따라서 $f( {27 \over 8}) <f(-1)<f(2)$

$ \therefore $ 참

 

ㄷ. $f(0)=4k$ 이면 ,  $a-9a=4k$,  $k=-2a$

$f(x)=kx$,  $a(x-1)^2 -9a=-2ax$

$(x-1)^2 -9=-2x$,  $x^2 -8=0$

따라서 서로 다른 두 실근의 합은 $0$

$ \therefore $ 거짓

 

따라서 정답은 ㄱ, ㄴ 이다.

 

아래 연습문제를 남기니 익혀보기 바란다.

 

9.이차방정식과 이차함수-연습문제.pdf

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